Cho a,b ≥ 0 , a^2+b^2=1 Tìm Min ab+1/(a+b)

0 bình luận về “Cho a,b ≥ 0 , a^2+b^2=1 Tìm Min ab+1/(a+b)”

1. \[\text{Đặt A là biểu thức trên}\\a^2+b^2=1\\\leftrightarrow a^2=1-b^2 \leq 1\\\leftrightarrow 0 \leq a^2 \leq 1\\TT:0 \leq b^2 \leq 1\\\leftrightarrow (a^2-1)(b^2-1) \geq 0\\\leftrightarrow (a-1)(a+1)(b-1)(b+1) \geq 0\\\leftrightarrow (a-1)(b-1)(a+1,b+1 \geq 1>0)\\\leftrightarrow ab-b-a+1 \geq 0\\\leftrightarrow a+b-1 \leq ab\\\leftrightarrow A \geq a+b+\dfrac{1}{a+b}-1\\\text{Áp dụng BĐT cosi ta có}\\a+b+\dfrac{1}{a+b} \geq 2\\\to A \geq 1\\\text{Dấu “=” xảy ra khi}\\\begin{cases}a+b=\dfrac{1}{a+b}\\(a-1)(b-1)=0\\a^2+b^2=1\\\end{cases}\\\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}a=0\\b=1\\\end{cases}\\\begin{cases}a=1\\b=0\\\end{cases}\end{array} \right.\\min_A=1 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}a=0\\b=1\\\end{cases}\\\begin{cases}a=1\\b=0\\\end{cases}\end{array} \right.\]

   Bình luận

2. Vì` a,b≥0 , a²+b²=1⇒0≤a²≤1,0≤b²≤1⇒0≤a≤1,0≤b≤1`

   `⇒(a-1).(b-1)≥0⇒ab-a-b+1≥0⇒ab≥a+b-1`

   Do đó `M=ab+1/(a+b)≥a+b+1/(a+b)-1`

   Áp dụng AM-GM ta có : `a+b+1/(a+b)≥2⇒M≥1`

   Dấu bằng khi `(a,b)=(1,0)`

   Học tốt

   Bình luận