cho a ,b >0 CMR A=2*√(1+a^2)+3*√(1+b^2)>=√[25+(2a+3b)^2] ai giúp câu này vs

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2}≥\sqrt{25+(2a+3b)^2}$

$⇔(2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2})^2≥(\sqrt{25+(2a+3b)^2})^2$

$⇔4(1+a^2)+9(1+b^2)+2.2\sqrt{1+a^2}.3\sqrt{1+b^2}≥25+(2a+3b)^2$

$⇔4+4a^2+9+9b^2+12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥25+4a^2+9b^2+12ab$

$⇔12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥12+12ab$

$⇔\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥1+ab$

$⇔(\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)})^2≥(1+ab)^2$

$⇔(1+a^2)(1+b^2)≥a^2b^2+2ab+1$

$⇔a^2b^2+a^2+b^2+1≥a^2b^2+2ab+1$

$⇔a^2+b^2-2ab≥0$

$⇔(a-b)^2≥0$ $\text{(luôn đúng)}$

$\text{Các phép biến đổi là tương đương nên ta có điều phải chứng minh.}$