cho a ,b >0 CMR A=2*√(1+a^2)+3*√(1+b^2)>=√[25+(2a+3b)^2] ai giúp câu này vs 10/07/2021 Bởi Quinn cho a ,b >0 CMR A=2*√(1+a^2)+3*√(1+b^2)>=√[25+(2a+3b)^2] ai giúp câu này vs
Đáp án: Giải thích các bước giải: $2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2}≥\sqrt{25+(2a+3b)^2}$ $⇔(2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2})^2≥(\sqrt{25+(2a+3b)^2})^2$ $⇔4(1+a^2)+9(1+b^2)+2.2\sqrt{1+a^2}.3\sqrt{1+b^2}≥25+(2a+3b)^2$ $⇔4+4a^2+9+9b^2+12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥25+4a^2+9b^2+12ab$ $⇔12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥12+12ab$ $⇔\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥1+ab$ $⇔(\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)})^2≥(1+ab)^2$ $⇔(1+a^2)(1+b^2)≥a^2b^2+2ab+1$ $⇔a^2b^2+a^2+b^2+1≥a^2b^2+2ab+1$ $⇔a^2+b^2-2ab≥0$ $⇔(a-b)^2≥0$ $\text{(luôn đúng)}$ $\text{Các phép biến đổi là tương đương nên ta có điều phải chứng minh.}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2}≥\sqrt{25+(2a+3b)^2}$
$⇔(2\sqrt{1+a^2}+3\sqrt{1+b^2})^2≥(\sqrt{25+(2a+3b)^2})^2$
$⇔4(1+a^2)+9(1+b^2)+2.2\sqrt{1+a^2}.3\sqrt{1+b^2}≥25+(2a+3b)^2$
$⇔4+4a^2+9+9b^2+12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥25+4a^2+9b^2+12ab$
$⇔12\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥12+12ab$
$⇔\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}≥1+ab$
$⇔(\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)})^2≥(1+ab)^2$
$⇔(1+a^2)(1+b^2)≥a^2b^2+2ab+1$
$⇔a^2b^2+a^2+b^2+1≥a^2b^2+2ab+1$
$⇔a^2+b^2-2ab≥0$
$⇔(a-b)^2≥0$ $\text{(luôn đúng)}$
$\text{Các phép biến đổi là tương đương nên ta có điều phải chứng minh.}$