Cho a,b > 0 sao cho a $b^{2}$ =1 Tìm min P = $(1+a)(1+b)^{2}$

0 bình luận về “Cho a,b > 0 sao cho a $b^{2}$ =1 Tìm min P = $(1+a)(1+b)^{2}$”

1. Đáp án:

    $P_{min}=8$ khi $a=b=1$

   Lời giải:

   Ta có: $a;b>0$; $ab^2=1\Rightarrow a=\dfrac1{b^2}$

   $P=(1+a)(1+b)^2$

   $=(1+a)(1+2b+b^2)$

   $=1+2b+b^2+a+2ab+ab^2$

   $=1+2b+b^2+\dfrac1{b^2}+2.\dfrac1{b^2}b+\dfrac1{b^2}b^2$
   $=1+2b+b^2+\dfrac1{b^2}+\dfrac2b+1$

   $=2+b^2+\dfrac1{b^2}+2\left({b+\dfrac1b}\right)$

   Theo bất đẳng thức cosy:

   $b^2+\dfrac1{b^2}\ge2$

   $b+\dfrac1{b}\ge2$

   $\Rightarrow P_{min}=2+2+2.2=8$

   Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow b^2=\dfrac1{b^2}\Leftrightarrow b^4=1\Leftrightarrow b=1$ $(b=-1<0\text{(loại)})$

   $\Rightarrow a=1$

   Giải thích:

   Bất đẳng thức cosi là trung bình cộng lớn hơn bằng trung bình nhân của $n$ số thực không âm.

   Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow n$ số thực đó bằng nhau.

   Bình luận

2. $ab^2=1$

   $⇒a=\dfrac{1}{b^2}$

   $P=(1+a)(1+b)^2$

   $P=(1+a)(b^2+2b+1)$

   $P=b^2+2b+1+ab^2+2ab+a$

   $P=b^2+2b+1+\dfrac{1}{b^2}.b^2+2\dfrac{1}{b^2}b+\dfrac{1}{b^2}$

   $P=b^2+2b+1+1+2.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}$

   $P=b^2+\dfrac{1}{b^2}+2+\left (2b+2\dfrac{1}{b} \right )$

   $P=b^2+\dfrac{1}{b^2}+2+2\left (b+\dfrac{1}{b} \right )$

   Theo bất đẳng thức Cô-si :

   $b^2+\dfrac{1}{b^2} \geq 2\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2}}=2$

   $b+\dfrac{1}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{b}}=2$

   $⇒P \geq 2+2+2.2$

   $⇔P \geq 8$

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :

   $b^2=\dfrac{1}{b^2}$

   $⇔b^2.b^2=1$

   $⇔b^4=1$

   $⇔b=1  (1)$ ( Vì theo đề bài , $a ; b >0$ )

   Mà $a.b^2=1 (2)$

   Kết hợp $(1)$ với $(2) ⇒ a=1$

   Vậy khi $a=b=1$ thì $Min_P=8$

    

    

   Bình luận