Cho a,b > 0 sao cho a $b^{2}$ =1 Tìm min P = $(1+a)(1+b)^{2}$

Đáp án:

 $P_{min}=8$ khi $a=b=1$

Lời giải:

Ta có: $a;b>0$; $ab^2=1\Rightarrow a=\dfrac1{b^2}$

$P=(1+a)(1+b)^2$

$=(1+a)(1+2b+b^2)$

$=1+2b+b^2+a+2ab+ab^2$

$=1+2b+b^2+\dfrac1{b^2}+2.\dfrac1{b^2}b+\dfrac1{b^2}b^2$
$=1+2b+b^2+\dfrac1{b^2}+\dfrac2b+1$

$=2+b^2+\dfrac1{b^2}+2\left({b+\dfrac1b}\right)$

Theo bất đẳng thức cosy:

$b^2+\dfrac1{b^2}\ge2$

$b+\dfrac1{b}\ge2$

$\Rightarrow P_{min}=2+2+2.2=8$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow b^2=\dfrac1{b^2}\Leftrightarrow b^4=1\Leftrightarrow b=1$ $(b=-1<0\text{(loại)})$

$\Rightarrow a=1$

Giải thích:

Bất đẳng thức cosi là trung bình cộng lớn hơn bằng trung bình nhân của $n$ số thực không âm.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow n$ số thực đó bằng nhau.