Cho a,b>0 và a+b+c=4. Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ a³ × b³ × c³ 26/10/2021 Bởi Vivian Cho a,b>0 và a+b+c=4. Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ a³ × b³ × c³
Đáp án: ta có: a+b≥2√ab; ⇒(a+b)(a+c)(b+c)≥8√(abc)^2=8abc mà 4=a+b+c≥3∛abc ⇒abc≤64/27<2√2 ⇒abc<2√2 ta có: (abc)^3-8abc=abc(abc-2√2)(abc+2√2)<0 ⇒ (abc)^3<8abc≤(a+b)(a+c)(b+c) ⇒đpcm Bình luận
Đáp án:
ta có:
a+b≥2√ab;
⇒(a+b)(a+c)(b+c)≥8√(abc)^2=8abc
mà 4=a+b+c≥3∛abc
⇒abc≤64/27<2√2
⇒abc<2√2
ta có: (abc)^3-8abc=abc(abc-2√2)(abc+2√2)<0
⇒ (abc)^3<8abc≤(a+b)(a+c)(b+c)
⇒đpcm