Cho (a+b+1)ab=a^2+b^2.tìm gtln của 1/a^3+1/b^3

0 bình luận về “Cho (a+b+1)ab=a^2+b^2.tìm gtln của 1/a^3+1/b^3”

1. Đáp án: $GTLN$ của $A = 16$ khi $ a = b = \frac{1}{2}$

    

   Giải thích các bước giải: Đặt $x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}$

   $ a² + b² = (a + b + 1)ab $

   $⇔ \frac{1}{a²} + \frac{1}{b²} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$ ( chia 2 vế cho $a²b²$)

   $⇔ x² + y² = x + y + xy (1)$

   $⇔ (x + y)² – (x + y) = 3xy $

   $⇔ 4(x + y)² – 4(x + y) = 12xy ≤ 3(x + y)² $

   $⇔ (x + y)² – 4(x + y) ≤ 0 $

   $⇔ (x + y)² – 4(x + y) + 4 ≤ 4$

   $⇔ (x + y – 2)² ≤ 4 $

   $⇔ – 2 ≤ x + y – 2 ≤ 2$
   $⇔ 0 ≤ x + y ≤ 4 $

   $ Từ (1) ⇒  x² + y² – xy = x + y$ nên ta có :

   $ A = \frac{1}{a³} + \frac{1}{b³} = x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy)$

   $= (x + y)² ≤ 16$

   Vậy $GTLN$ của $A = 16$ khi

   $x + y = 4 ⇔ x = y = 2 ⇔ a = b = \frac{1}{2}$

    

   Bình luận