cho `:a;b;c>0` `a+b+c=1` tìm `minP=1/(a^2+b^2+c^2) +(2021)/(ab+bc+ac)` 02/10/2021 Bởi Bella cho `:a;b;c>0` `a+b+c=1` tìm `minP=1/(a^2+b^2+c^2) +(2021)/(ab+bc+ac)`
`P=1/(a^2+b^2+c^2) +2021/(ab+bc+ac)` `P=1/(a^2+b^2+c^2) +1/(ab+bc+ac)+1/(ab+bc+ac)+2019/(ab+bc+ac)` Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki `+` Co-si dạng `ab+bc+ac<=(a+b+c)^2/3` `=>P=1/(a^2+b^2+c^2) +1/(ab+bc+ac)+1/(ab+bc+ac)+2019/(ab+bc+ac)>=(1+1+1)^2/(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)) + 2019/[(a+b+c)^2/3]` `=>P>=9/(a+b+c)^2 +6057/(a+b+c)^2` `=>P>=9+6057` `=>P>=6066` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3` Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có: $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}≥\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\dfrac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (do $a+b+c=1$ Lại có: $ab+bc+ca≤\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$ (do $a+b+c=1$) $⇒\dfrac{2019}{ab+bc+ca}≥2019.3=6057$ $⇒P=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2021}{ab+bc+ca}≥6066$ Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$ Bình luận
`P=1/(a^2+b^2+c^2) +2021/(ab+bc+ac)`
`P=1/(a^2+b^2+c^2) +1/(ab+bc+ac)+1/(ab+bc+ac)+2019/(ab+bc+ac)`
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki `+` Co-si dạng `ab+bc+ac<=(a+b+c)^2/3`
`=>P=1/(a^2+b^2+c^2) +1/(ab+bc+ac)+1/(ab+bc+ac)+2019/(ab+bc+ac)>=(1+1+1)^2/(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)) + 2019/[(a+b+c)^2/3]`
`=>P>=9/(a+b+c)^2 +6057/(a+b+c)^2`
`=>P>=9+6057`
`=>P>=6066`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3`
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}≥\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\dfrac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (do $a+b+c=1$
Lại có: $ab+bc+ca≤\dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$ (do $a+b+c=1$)
$⇒\dfrac{2019}{ab+bc+ca}≥2019.3=6057$
$⇒P=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2021}{ab+bc+ca}≥6066$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=c=\dfrac{1}{3}$