cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: a/b^2+b/a^2≥1/a+1/b 30/10/2021 Bởi Emery cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: a/b^2+b/a^2≥1/a+1/b
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si : `(a/b^2)+(1/a) ≥ √[(a/b^2)(1/a)]=2/b` Tương tự `(b/a^2)+(1/b) ≥ 2/a` `(a/b^2)+(1/a) + (b/a^2)+(1/b) ≥ (2/b)+(2/a)` ⇔`(a/b^2)+(b/a^2) ≥ (1/a)+(1/b)` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: $\text{chữa đề :}$ $\text{Cho a,b,c là số dương. CMR} \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) $\text{bài làm }$ $\text{Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy}$ \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}\) $\text{Tương tự:}$ \(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{c}\) \(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}\) Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn, ta có: \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)(đpcm) Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\) Cách 2: Áp dụng BĐT Bunyakovsky \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{a}.\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\le\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\)(đpcm) Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\) Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si :
`(a/b^2)+(1/a) ≥ √[(a/b^2)(1/a)]=2/b`
Tương tự
`(b/a^2)+(1/b) ≥ 2/a`
`(a/b^2)+(1/a) + (b/a^2)+(1/b) ≥ (2/b)+(2/a)`
⇔`(a/b^2)+(b/a^2) ≥ (1/a)+(1/b)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\text{chữa đề :}$
$\text{Cho a,b,c là số dương. CMR}
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
$\text{bài làm }$
$\text{Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy}$
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}\)
$\text{Tương tự:}$ \(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{c}\)
\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn, ta có:
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunyakovsky
\(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{a}.\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\le\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)