cho a+b+c=0. cm:(a-b/c+b-c/a+c-a/b).(c/a-b+a/b-c+b/c-a)=9

Giải thích các bước giải:

Ta có :
$P=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}$

$\to abc.P=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$

$\to abc.P=ab(a-b)+bc(b-a+a-c)+ca(c-a)$

$\to abc.P=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)$

$\to abc.P=ab(a-b)-bc(a-b)-bc(c-a)+ca(c-a)$

$\to abc.P=b(a-b)(a-c)+c(c-a)(a-b)$

$\to abc.P=-b(a-b)(c-a)+c(c-a)(a-b)$

$\to abc.P=(c-a)(a-b)(c-b)$

$\to abc.P=-(a-b)(b-c)(c-a)$

$\to P=-\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$

Lại có :
$Q=\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=c(b-c)(c-a) + (-b-c)(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=c(b-c)(c-a) – c(a-b)(c-a) – b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=c(c-a)(2b-a-c) + b(a-b)(a+b-2c)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=3bc(c-a) – 3bc(a-b)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=3bc(b+c-2a)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=3bc(-a-2a)$

$\to (a-b)(b-c)(c-a).Q=-9abc$

$\to Q=-\dfrac{9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$\to PQ=9$

$\to (\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b})(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a})=9$