Cho a,b,c `>= 0` CMR : `a(a – b)(a – c) + b(b -c)(b – a) + c(c – a)(c – b) > = 0`

Đáp án:

 Do vai trò của `a ,b ,c` là như nhau 

Giả sử `a ≥ b ≥ c ≥ 0`

Ta có : 

`a(a – b)(a – c) + b(b – c)(b – a) + c(c – a)(c – b)`

`= a(a – b)[(a – b) + (b – c)] – b(a – b)(b – c) + c(a – c)(b – c)`

`= a(a – b)^2 + a(a – b)(b – c) – b(a – b)(b – c) + c(a – c)(b – c)`

`= a(a – b)^2 + [a(a – b)(b – c) – b(a – b)(b – c) ]+ c(a – c)(b – c)`

`= a(a – b)^2 + (a – b)(a – b)(b – c) + c(a – c)(b – c)`

`= a(a – b)^2 + (a – b)^2(b – c) + c(a – c)(b – c)`

Do `(a – b)^2 ≥ 0`

      `a ≥ 0`

`=> a(a – b)^2 ≥ 0`

Do `(a – b)^2 ≥ 0`

      `b ≥ c ≥ 0 => b – c ≥ 0`

`=> (a – b)^2(b – c) ≥ 0`

Do `a ≥ b ≥ c ≥ 0`

`=> a – c ≥ 0`

      `b – c ≥ 0`

`=> c(a – c)(b – c) ≥ 0`

`=> a(a – b)^2 + (a – b)^2(b – c) + c(a – c)(b – c) ≥ 0`

`=> đpcm`

Giải thích các bước giải: