cho a,b,c > 0. Cmr:
$\frac{a^2}{2b+3c}$ + $\frac{b^2}{2c+3a}$ + $\frac{c^2}{2a+3b}$ $\geq$ $\frac{1}{5}(a+b+c)$
cho a,b,c > 0. Cmr:
$\frac{a^2}{2b+3c}$ + $\frac{b^2}{2c+3a}$ + $\frac{c^2}{2a+3b}$ $\geq$ $\frac{1}{5}(a+b+c)$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do `a,b,c>0`,Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ
`=>a^2/(2b+3c)+b^2/(2c+3a)+c^2/(2a+3b)>=(a+b+c)^2/[(2a+3c)+(2c+3a)+(2a+3b)]`
`=>a^2/(2b+3c)+b^2/(2c+3a)+c^2/(2a+3b)>=(a+b+c)^2/[5(a+b+c)`
`=>a^2/(2b+3c)+b^2/(2c+3a)+c^2/(2a+3b)>=(a+b+c)/5`
`=>a^2/(2b+3c)+b^2/(2c+3a)+c^2/(2a+3b)>=1/5(a+b+c)`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Đáp án:
Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có
`a^2/(2b + 3c) + (2b + 3c)/25 ≥ 2\sqrt{a^2/(2b + 3c) . (2b + 3c)/25} = (2a)/5`
`b^2/(2c + 3a) + (2c + 3a)/25 ≥ 2\sqrt{b^2/(2c + 3a) . (2c + 3a)/25} = (2b)/5`
`c^2/(2a + 3b) + (2a + 3b)/25 ≥ 2\sqrt{c^2/(2a + 3b) . (2a + 3b)/25} = (2c)/5`
Cộng vế theo vế ta được :
`VT + [5(a + b + c)]/25 ≥ [2(a+ b + c)]/5`
`-> VT ≥ [2(a+ b + c)]/5 – (a + b + c)/5 = (a + b + c)/5 = 1/5(a + b + c) = VP`
`-> đpcm`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c`
Giải thích các bước giải: