cho a,b,c >0 thỏa abc=1. Cmr: 1/(2+a) +1/(2+b) + 1/(2+c)<=1

0 bình luận về “cho a,b,c >0 thỏa abc=1. Cmr: 1/(2+a) +1/(2+b) + 1/(2+c)<=1”

1. Đáp án:

   `1/(2 + a) + 1/(2 + b) + 1/(2 + c) <= 1`

   `↔ 2/(2 + a) + 2/(2 + b) + 2/(2 + c) <= 2`

   `↔ 1 – 2/(2 + a) + 1 – 2/(2  + b) + 1 – 2/(2 + c) >= 3 – 2`

   `↔ a/(a+  2) + b/(b + 2) + c/(c + 2) >= 1`

    Đặt `a = x/y , b = y/z , c = z/x` . Do `a,b,c > 0` nên `x,y,z` cùng dấu

   `LHS = (x/y)/(x/y + 2) + (y/z)/(y/z+  2) + (z/x)/(z/x + 2)`

   `= x/(x + 2y) + y/(y + 2z) + z/(z + 2x)`

   `+) th1 : x,y,z > 0`

   Áp dụng ` BĐT ` cauchy-schwarz dạng engel , có: 

   `LHS = x^2/(x^2 + 2xy) + y^2/(y^2 + 2yz) + z^2/(z^2 + 2zx) >= (x + y + z)^2/(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) = (x + y + z)^2/(x + y + z)^2 = 1 = RHS`

   `-> đpcm`

   Dấu “=” `↔ a = b = c = 1`

   `+) TH2 : x,y,z < 0` . Đặt `x = -p , y = -q , z = -r (p,q,r > 0)`

   `LHS =x/(x + 2y) + y/(y + 2z) + z/(z + 2x)`

   `= (-p)/(-p + 2.(-q)
   )+ (-q)/(-q + 2.(-r)) + (-r)/(-r + 2.(-p))`

   `= p/(p + 2q) + q/(q + 2r) + r/(r + 2p)`

   tương tự th1: ..`-> LHS >= 1 = RHS . Dấu “=” ↔ a = b = c=  1`
   

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận