$Cho_{}$ $a_{}$ $,b_{}$ $,c_{}>0$ $thoả_{}$ $mãn_{}$ $ab_{}$ $+bc_{}$ $+ca_{}$ $=abc_{}$
$Cmr:_{}$ $\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}_{}$ $\geq3$
$Cho_{}$ $a_{}$ $,b_{}$ $,c_{}>0$ $thoả_{}$ $mãn_{}$ $ab_{}$ $+bc_{}$ $+ca_{}$ $=abc_{}$ $Cmr:_{}$ $\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2
By Maria
Đáp án:
Giải thích các bước giải: Sửa đề `\ge 3→ \ge \sqrt{3}`
Ta có: từ giả thiết đã cho `⇔ a,b,c >0;1/a+1/b+1/c=1\ (1)`
Bất đằng thức đã cho tương đương với `M=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}} \ge \sqrt{3}`
Áp dụng bất đẳng thức `x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3}(x+y+z)^2` ta có:
`\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2} \ge \frac{1}{3}.(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})^2`
`⇒ \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{3}}.(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})` (do `a,b >0)`
Tương tự `\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{3}}.(\frac{1}{b}+\frac{2}{c});\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{3}}.(\frac{1}{c}+\frac{2}{a})`
Từ đó, `⇒ M \ge \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})=\sqrt{3}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\sqrt{3}\ (theo\ (1))⇒ đpcm`
Dấu `=` xảy ra khi `a=b=c=3`
Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được: (Hoặc “Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ở bài trước”)
$3(b^2 + 2a^2) = (1^2 +1^2 + 1^2)(b^2 + a^2 + a^2) \geq (b + a + a)^2 = (b + 2a)^2$
$\Leftrightarrow b^2 + 2a^2 \geq \dfrac{(b + 2a)^2}{3}$
$\Rightarrow \sqrt{b^2 + 2a^2} \geq \dfrac{b + 2a}{\sqrt3}$
$\Rightarrow \dfrac{c\sqrt{b^2 + 2a^2}}{abc} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} \geq \dfrac{ca+ 2ba}{\sqrt3.abc}$
$\dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{ab + 2bc}{\sqrt3.abc}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$\dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{bc + 2ac}{\sqrt3.abc} + \dfrac{ca+ 2ba}{\sqrt3.abc}+ \dfrac{ab + 2bc}{\sqrt3.abc}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{b^2 + 2a^2}}{ab} + \dfrac{\sqrt{c^2 + 2b^2}}{bc} + \dfrac{\sqrt{a^2 + 2c^2}}{ac} \geq \dfrac{bc + 2ac + ca + 2ba + ab + 2bc}{\sqrt3.abc} = \dfrac{3(ab + bc + ca)}{\sqrt3.abc} = \dfrac{3abc}{\sqrt3.abc} = \sqrt3$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 3$