Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=1`. CMR: `(a+bc)/(b+c)+(b+ca)/(c+a)+(c+ab)/(a+b)\ge 2`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`BĐT⇔\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}≥2`

`⇔\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}≥2`

Đặt $x=a+b;y=b+c;z=c+a(x;y;z>0)$

$⇒x+y+z=2(a+b+c)=2$

$BĐT$ cần chứng minh tương đương với:

`\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}≥2`

`⇔\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{xyz}≥x+y+z`

`⇔x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥xyz(x+y+z)`

`⇔2(x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)`

`⇔(x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2)+(y^2z^2-2xyz^2+x^2z^2)+(x^2z^2-2x^2yz+x^2y^2)≥0`

`⇔(xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2≥0` (luôn đúng)

Vậy $BĐT$ được chứng minh. Dấu bằng xảy ra

`⇔x=y=z=\frac{2}{3}⇔a=b=c=\frac{1}{3}`