Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=1`. CMR: `(a+bc)/(b+c)+(b+ca)/(c+a)+(c+ab)/(a+b)\ge 2` 12/08/2021 Bởi Genesis Cho `a,b,c>0` tm `a+b+c=1`. CMR: `(a+bc)/(b+c)+(b+ca)/(c+a)+(c+ab)/(a+b)\ge 2`
Đáp án: Giải thích các bước giải: `BĐT⇔\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}≥2` `⇔\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}≥2` Đặt $x=a+b;y=b+c;z=c+a(x;y;z>0)$ $⇒x+y+z=2(a+b+c)=2$ $BĐT$ cần chứng minh tương đương với: `\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}≥2` `⇔\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{xyz}≥x+y+z` `⇔x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥xyz(x+y+z)` `⇔2(x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)` `⇔(x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2)+(y^2z^2-2xyz^2+x^2z^2)+(x^2z^2-2x^2yz+x^2y^2)≥0` `⇔(xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2≥0` (luôn đúng) Vậy $BĐT$ được chứng minh. Dấu bằng xảy ra `⇔x=y=z=\frac{2}{3}⇔a=b=c=\frac{1}{3}` Bình luận
`(a+bc)/(b+c)+(b+ac)/(a+c)+(c+ab)/(a+b)≥2` `⇔(1-b-c+bc)/(1-a)+(1-a-c+ac)/(1-b)+(1-b-a+ba)/(1-c)≥2` `⇔((1-b)(1-c))/(1-a)+((1-a)(1-c))/(1-b)+((1-b)(1-a))/(1-c)≥2` `⇔((a+b)(a+c))/(b+c)+((a+c)(c+b))/(b+a)+((c+b)(a+c))/(b+a)≥2` đặt `:a+b=z;b+c=x;a+c=y` `⇒(xy)/z+(zy)/x+(xz)/y≥2` `⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2≥2xyz` `⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2≥(x+y+z)(xyz)` `⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2-xyz^2-xzy^2-yzx^2≥0` `⇔2(xy)^2+2(zy)^2+2(xz)^2-2xyz^2-2xzy^2-2yzx^2≥0` `⇔(xy-xz)^2+(yz-xz)^2+(xy-yz)^2≥0` điều hiển nhiên `⇒(a+bc)/(b+c)+(b+ac)/(a+c)+(c+ab)/(a+b)≥2` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`BĐT⇔\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}≥2`
`⇔\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(a+c)(b+c)}{a+b}≥2`
Đặt $x=a+b;y=b+c;z=c+a(x;y;z>0)$
$⇒x+y+z=2(a+b+c)=2$
$BĐT$ cần chứng minh tương đương với:
`\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}≥2`
`⇔\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{xyz}≥x+y+z`
`⇔x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥xyz(x+y+z)`
`⇔2(x^2y^2+y^2z^2+x^2y^2≥2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)`
`⇔(x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2)+(y^2z^2-2xyz^2+x^2z^2)+(x^2z^2-2x^2yz+x^2y^2)≥0`
`⇔(xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2≥0` (luôn đúng)
Vậy $BĐT$ được chứng minh. Dấu bằng xảy ra
`⇔x=y=z=\frac{2}{3}⇔a=b=c=\frac{1}{3}`
`(a+bc)/(b+c)+(b+ac)/(a+c)+(c+ab)/(a+b)≥2`
`⇔(1-b-c+bc)/(1-a)+(1-a-c+ac)/(1-b)+(1-b-a+ba)/(1-c)≥2`
`⇔((1-b)(1-c))/(1-a)+((1-a)(1-c))/(1-b)+((1-b)(1-a))/(1-c)≥2`
`⇔((a+b)(a+c))/(b+c)+((a+c)(c+b))/(b+a)+((c+b)(a+c))/(b+a)≥2`
đặt `:a+b=z;b+c=x;a+c=y`
`⇒(xy)/z+(zy)/x+(xz)/y≥2`
`⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2≥2xyz`
`⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2≥(x+y+z)(xyz)`
`⇔(xy)^2+(zy)^2+(xz)^2-xyz^2-xzy^2-yzx^2≥0`
`⇔2(xy)^2+2(zy)^2+2(xz)^2-2xyz^2-2xzy^2-2yzx^2≥0`
`⇔(xy-xz)^2+(yz-xz)^2+(xy-yz)^2≥0` điều hiển nhiên
`⇒(a+bc)/(b+c)+(b+ac)/(a+c)+(c+ab)/(a+b)≥2`