Cho `a,b,c>0` tm `abc=1.` CMR: `1/(a+b+c)+1/3\ge 2/(ab+bc+ca)`

Đáp án:

 Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có : 

`1/(a + b + c) + 1/3 >= 2/(\sqrt{3(a + b + c)}) = 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) (1)`

Mặt khác : Áp dụng BĐT phụ cơ bản : `(x + y + z)^2 >= 3(xy + yz + zx)`

`-> (ab + bc + ca)^2 >= 3(ab . bc + bc . ca  + ca . ab) = 3abc(a + b + c)`

`-> \sqrt{3abc(a + b + c)} <= ab + bc  + ca`

`-> 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) >= 2/(ab + bc + ca) (2)`

Từ `(1)(2) -> 1/(a + b+ c) + 1/3 >= 2/(ab + bc + ca) -> đ.p.cm`

Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1`

Giải thích các bước giải: