Cho `a,b,c>0` tm `abc=1.` CMR: `1/(a+b+c)+1/3\ge 2/(ab+bc+ca)` 12/08/2021 Bởi Reese Cho `a,b,c>0` tm `abc=1.` CMR: `1/(a+b+c)+1/3\ge 2/(ab+bc+ca)`
Đáp án: Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có : `1/(a + b + c) + 1/3 >= 2/(\sqrt{3(a + b + c)}) = 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) (1)` Mặt khác : Áp dụng BĐT phụ cơ bản : `(x + y + z)^2 >= 3(xy + yz + zx)` `-> (ab + bc + ca)^2 >= 3(ab . bc + bc . ca + ca . ab) = 3abc(a + b + c)` `-> \sqrt{3abc(a + b + c)} <= ab + bc + ca` `-> 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) >= 2/(ab + bc + ca) (2)` Từ `(1)(2) -> 1/(a + b+ c) + 1/3 >= 2/(ab + bc + ca) -> đ.p.cm` Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có :
`1/(a + b + c) + 1/3 >= 2/(\sqrt{3(a + b + c)}) = 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) (1)`
Mặt khác : Áp dụng BĐT phụ cơ bản : `(x + y + z)^2 >= 3(xy + yz + zx)`
`-> (ab + bc + ca)^2 >= 3(ab . bc + bc . ca + ca . ab) = 3abc(a + b + c)`
`-> \sqrt{3abc(a + b + c)} <= ab + bc + ca`
`-> 2/(\sqrt{3abc(a + b + c)}) >= 2/(ab + bc + ca) (2)`
Từ `(1)(2) -> 1/(a + b+ c) + 1/3 >= 2/(ab + bc + ca) -> đ.p.cm`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải: