Cho `a,b,c>0` tm `abc=1`. Tính GTNN của `P=1/\sqrt(ab+a+2)+1/\sqrt(bc+b+2)+1/\sqrt(ca+c+2)` 23/08/2021 Bởi Lyla Cho `a,b,c>0` tm `abc=1`. Tính GTNN của `P=1/\sqrt(ab+a+2)+1/\sqrt(bc+b+2)+1/\sqrt(ca+c+2)`
Đáp án: vắn tắt Ta có : `P^2 <= 3(1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2))` Mặt khác : `1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2) = 1/(ab + 1 + a + 1) + 1/(bc + 1 + b + 1) + 1/(ca + 1 + c + 1) <= 1/4 (1/(ab + 1) + 1/(a + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(b + 1) + 1/(ca + 1) + 1/(c + 1)) = 1/4 (c/(abc + c) + 1/(a + 1) + a/(abc + a) + 1/(b + 1) + b/(abc + b) + 1/(c + 1)) = 1/4 (c/(1 + c) + 1/(a + 1) + a/(1 + a) + 1/(b+ 1) + b/(1 + b) + 1/(c + 1)) = 1/4 ((a + 1)/(a+ 1) + (b+ 1)/(b + 1) + (c+ 1)/(c + 1)) = 1/4 (1 + 1 + 1) = 3/4` `-> P^2 <= 3 . 3/4 = 9/4 -> P <= 3/2` Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c= 1` Vậy `……….` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
vắn tắt
Ta có :
`P^2 <= 3(1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2))`
Mặt khác :
`1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2) = 1/(ab + 1 + a + 1) + 1/(bc + 1 + b + 1) + 1/(ca + 1 + c + 1) <= 1/4 (1/(ab + 1) + 1/(a + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(b + 1) + 1/(ca + 1) + 1/(c + 1)) = 1/4 (c/(abc + c) + 1/(a + 1) + a/(abc + a) + 1/(b + 1) + b/(abc + b) + 1/(c + 1)) = 1/4 (c/(1 + c) + 1/(a + 1) + a/(1 + a) + 1/(b+ 1) + b/(1 + b) + 1/(c + 1)) = 1/4 ((a + 1)/(a+ 1) + (b+ 1)/(b + 1) + (c+ 1)/(c + 1)) = 1/4 (1 + 1 + 1) = 3/4`
`-> P^2 <= 3 . 3/4 = 9/4 -> P <= 3/2`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c= 1`
Vậy `……….`
Giải thích các bước giải: