Cho a+b+c=1/a+1/b+1/c=0; abc khác 0. Chứng minh a^6+b^6+c^6=3a^2b^2c^2

0 bình luận về “Cho a+b+c=1/a+1/b+1/c=0; abc khác 0. Chứng minh a^6+b^6+c^6=3a^2b^2c^2”

1. Giải thích các bước giải:
   Ta có:
   \[\begin{array}{l}
   \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\\
   a + b + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 0\\
   \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\
   \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 0
   \end{array}\]
   Áp dụng:
   \[\begin{array}{l}
   {a^3} + {b^3} + {c^3} = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) + 3abc\\
   \Rightarrow {a^6} + {b^6} + {c^6} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^2} – {a^2}{b^2} – {b^2}{c^2} – {c^2}{a^2}} \right) + 3{a^2}{b^2}{c^2}\\
   \Leftrightarrow {a^6} + {b^6} + {c^6} = 3{a^2}{b^2}{c^2}
   \end{array}\]

   Bình luận