cho a,b,c>1 cmr a^2/b-1 + b^2/c-1 + c^2/a-1 >12

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2}}}{{b – 1}} + 4\left( {b – 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{b – 1}}.4\left( {b – 1} \right)}  = 4a\\
\frac{{{b^2}}}{{c – 1}} + 4\left( {c – 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{c – 1}}.4.\left( {c – 1} \right)}  = 4b\\
\frac{{{c^2}}}{{a – 1}} + 4\left( {a – 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{{a – 1}}.4\left( {a – 1} \right)}  \ge 4c\\
 \Rightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{{b – 1}} + 4\left( {b – 1} \right)} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{c – 1}} + 4\left( {c – 1} \right)} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{{a – 1}} + 4\left( {a – 1} \right)} \right) \ge 4a + 4b + 4c\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{{b – 1}} + \frac{{{b^2}}}{{c – 1}} + \frac{{{c^2}}}{{a – 1}}} \right) + 4a + 4b + 4c – 12 \ge 4a + 4b + 4c\\
 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{b – 1}} + \frac{{{b^2}}}{{c – 1}} + \frac{{{c^2}}}{{a – 1}} \ge 12
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2