cho a+b+c=1 tìm min căn(a-b) + căn(b-a) + căn (c-a) 20/09/2021 Bởi Kinsley cho a+b+c=1 tìm min căn(a-b) + căn(b-a) + căn (c-a)
Đáp án: $\max\ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt6$ Giải thích các bước giải: ĐKXĐ: $a;\ b;\ c>0$ Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có: $a+b+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(a+b)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+b} \ \ (1)$ Tương tự: $b+c+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(b+c)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{b+c} \ \ (2)$ $c+a+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(c+a)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+c} \ \ (3)$ Cộng vế với vế của `(1);\ (2)` và `(3)`, ta có: $\dfrac{2\sqrt6}{3}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\le 4$ $\to \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \sqrt6$ Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3` Bình luận
Biếu thức dạng đối xứng nên đề đúng là $ \sqrt{a-b} + \sqrt{b-c} + \sqrt{c-a}$ ĐKXĐ : $ a -b \ge 0 ; b -c \ge 0 ; c- a \ge 0$ $ \to a \ge b ; b \ge c ; c \ge a \to a = b = c$ Khi đó biểu thức bằng $0$ với mọi bộ số $(a;b;c)$ sao cho $a=b=c$ Theo đề bài, ta có $ a+ b +c = 1 \to a =b=c = \dfrac{1}{3}$ Bình luận
Đáp án:
$\max\ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt6$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $a;\ b;\ c>0$
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
$a+b+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(a+b)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+b} \ \ (1)$
Tương tự:
$b+c+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(b+c)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{b+c} \ \ (2)$
$c+a+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(c+a)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+c} \ \ (3)$
Cộng vế với vế của `(1);\ (2)` và `(3)`, ta có:
$\dfrac{2\sqrt6}{3}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\le 4$
$\to \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \sqrt6$
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3`
Biếu thức dạng đối xứng nên đề đúng là
$ \sqrt{a-b} + \sqrt{b-c} + \sqrt{c-a}$
ĐKXĐ : $ a -b \ge 0 ; b -c \ge 0 ; c- a \ge 0$
$ \to a \ge b ; b \ge c ; c \ge a \to a = b = c$
Khi đó biểu thức bằng $0$ với mọi bộ số $(a;b;c)$ sao cho $a=b=c$
Theo đề bài, ta có $ a+ b +c = 1 \to a =b=c = \dfrac{1}{3}$