Toán cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca). chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = a^2b + b^2c + c^2a 29/07/2021 By Allison cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca). chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = a^2b + b^2c + c^2a
Xét đẳng thức đã cho $(a+b+c)^2 = 3(ab + bc + ca)$ $\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca)$ $\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ Ta lại có BĐT $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ Suy ra $a^2b + b^2c + c^2a = a^2.a + b^2.b + c^2.c = a^3 + b^3 + c^3$. Trả lời
Xét đẳng thức đã cho
$(a+b+c)^2 = 3(ab + bc + ca)$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca)$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$
Ta lại có BĐT
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$
Suy ra
$a^2b + b^2c + c^2a = a^2.a + b^2.b + c^2.c = a^3 + b^3 + c^3$.