cho a ³ + b ³ + c ³ = 3abc và a+b+c khác 0 Tính N= (a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2

0 bình luận về “cho a ³ + b ³ + c ³ = 3abc và a+b+c khác 0 Tính N= (a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2”

1. Đáp án:

   \[N = \frac{1}{3}\]

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\\
   {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\\
    \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} – 3abc = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} – 3abc = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] – 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^3} – 3\left( {a + b} \right)c.\left( {a + b + c} \right) – 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} – 3\left( {a + b} \right)c – 3ab} \right] = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca = 0\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\
   N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{1}{3}
   \end{array}\)

   Bình luận