Cho a,b,c, a^2+b^2+c^2<=3. Tìm min: 1/ab+1 +1/bc+1 +1/ac+1 22/11/2021 Bởi Vivian Cho a,b,c, a^2+b^2+c^2<=3. Tìm min: 1/ab+1 +1/bc+1 +1/ac+1
Đáp án: Bổ sung : `a,b,c > 0` Đặt `A = 1/(ab + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(ac + 1)` Ta có `3 ≥ a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca (1)` Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cop-xki dạng phân thức ta có `1/(ab + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(ac + 1) ≥ 9/(ab + bc + ca + 3) (2)` Từ `(1) -> ab + bc + ca ≤ 3` `-> ab + bc + ca + 3 ≤ 6` `-> 9/(ab + bc + ca + 3) ≥ 9/6 = 3/2 (3)` Từ `(2)(3) -> A ≥ 3/2` Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c) = (1,1,1) ; (-1,-1,-1)` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án:
Bổ sung : `a,b,c > 0`
Đặt `A = 1/(ab + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(ac + 1)`
Ta có
`3 ≥ a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca (1)`
Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cop-xki dạng phân thức ta có
`1/(ab + 1) + 1/(bc + 1) + 1/(ac + 1) ≥ 9/(ab + bc + ca + 3) (2)`
Từ `(1) -> ab + bc + ca ≤ 3`
`-> ab + bc + ca + 3 ≤ 6`
`-> 9/(ab + bc + ca + 3) ≥ 9/6 = 3/2 (3)`
Từ `(2)(3) -> A ≥ 3/2`
Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c) = (1,1,1) ; (-1,-1,-1)`
Giải thích các bước giải: