Cho a ² + b ² + c ² = | ab+ac+bc| Chứng minh a=b=c

Giải thích các bước giải:

 +)TH1: Nếu $ab+bc+ca<0$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} =  – \left( {ab + bc + ca} \right)\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca = 0\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = ab + bc + ca\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = ab + bc + ca\\
 \Rightarrow ab + bc + ca \ge 0,\forall a,b,c
\end{array}$

Như vậy vô lý nên TH1 này không thỏa mãn điều kiện đề.

+) TH2: Nếu $ab+bc+ca\ge 0$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca = 0\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} = 0\\
{\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0,\forall a,b,c
\end{array}$

Như vậy dấu bằng xảy ra 

$ \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} = {\left( {b – c} \right)^2} = {\left( {c – a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c$

Vậy ta có đpcm.