Cho a ² + b ² + c ² = | ab+ac+bc| Chứng minh a=b=c

0 bình luận về “Cho a ² + b ² + c ² = | ab+ac+bc| Chứng minh a=b=c”

1. Giải thích các bước giải:

    +)TH1: Nếu $ab+bc+ca<0$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} =  – \left( {ab + bc + ca} \right)\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca = 0\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = ab + bc + ca\\
    \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = ab + bc + ca\\
    \Rightarrow ab + bc + ca \ge 0,\forall a,b,c
   \end{array}$

   Như vậy vô lý nên TH1 này không thỏa mãn điều kiện đề.

   +) TH2: Nếu $ab+bc+ca\ge 0$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\
    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca = 0\\
    \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} = 0\\
   {\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0,\forall a,b,c
   \end{array}$

   Như vậy dấu bằng xảy ra 

   $ \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} = {\left( {b – c} \right)^2} = {\left( {c – a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c$

   Vậy ta có đpcm.

   Bình luận