Cho ` a,b,c,d` là các số thực dương thỏa mãn ` a+ b+c+d = 1` Chứng minh ` 6(a^3+b^3+c^3+d^3) \ge (a^2+b^2+c^2+d^2) +1/8` Giải theo cách mà có cái phươ

Đáp án:

`6(a^3+b^3+c^3+d^3)>=(a^2+b^2+c^2+d^2) +1/8`

Giải thích các bước giải:

Dự đoán điểm rơi tại `a=b=c=d=1/4`

`\sum 6a^3>=\sum a^2+1/8`

`<=>\sum (6a^3-a^2)>=1/8`

`<=>\sum f(a)>=1/8`

Trong đó: `f(x)=6x^3-x^2`

Tiếp tuyến của độ thị hàm số `y=f(x)` tại điểm có hoành độ `x_0=1/4` là:

`y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0` (Với `f'(x_0)` là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm `M(x_0;y_0)` )

`=f'(x_0)(x-x_0)+f(x)`

`=f'(1/4)(x-1/4)+f(1/4)`

`=(6x^3-x^2)'(x-1/4)+[6.(\frac{1}{4})^3-(\frac{1}{4})^2]`

`=(18x^2-2x)(x-1/4)+3/32-1/16`

`=[18.(\frac{1}{4})^2-2.\frac{1}{4}](x-1/4)+1/32`

`=(9/8-1/2)(x-1/4)+1/32`

`=\frac{5}{8}(x-1/4)+1/32`

`=\frac{5x}{8}-5/32+1/32`

`=\frac{5x}{8}-1/8`

`=\frac{5x-1}{8}`

Vì nếu `y=ax+b` là tiếp tuyến của đồ thị hàm số `y=f(x)` tại điểm `M(x_0;y_0)` thì luôn tồn tại một khoảng `(α;β)` chứa điểm `x_0` sao cho `f(x)>=ax+b` nên ta cần chứng minh 

`f(x)>=\frac{5x-1}{8}` `(x\in 0;1)`

Ta có:

`\sum (6a^3-a^2-\frac{5a-1}{8})`

`=\frac{\sum (48a^3-8a^2-5a-1)}{8}`

`=\frac{\sum [16a^2(3a+1)-8a(3a+1)+(3a+1)]}{8}`

`=\frac{\sum (3a+1)(4a-1)^2}{8}>=0`

`=>\sum (6a^3-a^2)>=4.\frac{5a-1}{8}=\frac{5(a+b+c+d)-4}{8}=\frac{5-4}{8}=1/8` 

`=>6(a^3+b^3+c^3+d^3)>=(a^2+b^2+c^2+d^2) +1/8` (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c=d=1/4`