cho a,b,c,d là các số thực ko nhỏ hơn 1 T/m : a2+b2+c2+d2=16 . tìm max của P= căn (a-1)+ căn (b-1) + căn (c-1)+ căn (d-1)
cho a,b,c,d là các số thực ko nhỏ hơn 1 T/m : a2+b2+c2+d2=16 . tìm max của P= căn (a-1)+ căn (b-1) + căn (c-1)+ căn (d-1)
Bài làm:
Vì a ≥ 1
⇒ Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số không âm ta có:
$\sqrt[]{a-1}$ $\leq$ $\frac{a-1+1}{2}$ = $\frac{a}{2}$
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a-1= 1 ⇔ a=2
Tương tự, ta có: $\sqrt[]{b-1}$ $\leq$ $\frac{b}{2}$ ; $\sqrt[]{c-1}$ $\leq$ $\frac{c}{2}$
$\sqrt[]{d-1}$ $\leq$ $\frac{d}{2}$
⇒ P $\leq$ $\frac{a+b+c+d}{2}$
Với mọi số a, ta luôn có: $(a-2)^{2}$ $\geq$ 0
⇔ $a^{2}$ – 4a + 4 $\geq$ 0 ⇔ 4a $\leq$ $a^{2}$ + 4 ⇔ a $\leq$ $\frac{a^2 + 4}{4}$
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a-2=0 ⇔ a=2
Chứng minh tương tự ta có: b $\leq$ $\frac{b^2 + 4}{4}$ ; c $\leq$ $\frac{c^2 + 4}{4}$
d < $\frac{d^2 + 4}{4}$
⇒ a + b + c + d ≤ $\frac{a^2 + 4}{4}$ + $\frac{b^2 + 4}{4}$ + $\frac{c^2 + 4}{4}$ + $\frac{c^2 + 4}{4}$
= $\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+16}{4}$ = $\frac{16+16}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8
⇒ P ≤ $\frac{a+b+c+d}{2}$ $\leq$ $\frac{8}{2}$ = 4
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b = c = d = 2
Vậy max P = 4 ⇔ a= b = c = d = 2
….