Cho a,b,c dương CM `(a+b).(b+c).(c+a) ≥ 8/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)` 10/11/2021 Bởi Quinn Cho a,b,c dương CM `(a+b).(b+c).(c+a) ≥ 8/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)`
Có` (a+b).(b+c).(c+a)=(a+b+c).(ab+bc+ca)-abc` ⇒Điều cần chứng minh là: `(a+b+c).(ab+bc+ca)-abc≥8/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)` `⇔1/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)≥abc` Áp dụng AM-GM ta có: `a+b+c≥3∛abc` `ab+bc+ca≥3∛a²b²c²` `⇒(a+b+c).(ab+bc+ca)≥9abc` `1/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)≥abc` (điều phải chứng minh ) Dấu bằng `⇔a=b=c` Bình luận
Có` (a+b).(b+c).(c+a)=(a+b+c).(ab+bc+ca)-abc`
⇒Điều cần chứng minh là:
`(a+b+c).(ab+bc+ca)-abc≥8/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)`
`⇔1/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)≥abc`
Áp dụng AM-GM ta có:
`a+b+c≥3∛abc`
`ab+bc+ca≥3∛a²b²c²`
`⇒(a+b+c).(ab+bc+ca)≥9abc`
`1/9.(a+b+c).(ab+bc+ca)≥abc` (điều phải chứng minh )
Dấu bằng `⇔a=b=c`