Cho a,b,c dương thõa mãn a.b.c=1
Cmr nếu a+b+c >1/a +1/b + 1/c thì có một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1
Mọi người ơi , giúp em với ạ
Cho a,b,c dương thõa mãn a.b.c=1
Cmr nếu a+b+c >1/a +1/b + 1/c thì có một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1
Mọi người ơi , giúp em với ạ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét tích \(A = \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)\left( {c – 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)\left( {c – 1} \right) = \left( {ab – b – a + 1} \right)\left( {c – 1} \right)\\ = abc – ab – bc + b – ac + a + c – 1\\ = abc + \left( {a + b + c} \right) – \left( {ab + bc + ca} \right) – 1\\ = \left( {a + b + c} \right) – \left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow a + b + c > bc + ca + ab\\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) – \left( {bc + ca + ab} \right) > 0\end{array}\)
Do đó \(A = \left( {a + b + c} \right) – \left( {ab + bc + ca} \right) > 0\) hay \(\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right)\left( {c – 1} \right) > 0\).
Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a – 1 > 0\\b – 1 > 0\\c – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\b > 1\\c > 1\end{array} \right. \Rightarrow abc > 1\) (mâu thuẫn giả thiết, loại)
Do đó trong ba thừa số \(a – 1,b – 1,c – 1\) phải có hai thừa số âm và một thừa số dương.
Không mất tính tổng quát giả sử \(a – 1 < 0,b - 1 < 0,c - 1 > 0\) hay \(a < 1,b < 1,c > 1\).
Vậy trong ba số chỉ có duy nhất một số lớn hơn \(1\) (đpcm)