Cho a,b,c khác 0 Thỏa mãn: a^2/b^2 + b^2/c^2 + c^2/a^2 = a/c + c/b + b/a CMR: a=b=c 19/08/2021 Bởi Bella Cho a,b,c khác 0 Thỏa mãn: a^2/b^2 + b^2/c^2 + c^2/a^2 = a/c + c/b + b/a CMR: a=b=c
Đáp án: Ta có: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq2.\frac{a}{c}$ Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b$ Tương tự: $\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq2.\frac{c}{b};\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq2.\frac{b}{a}$ Cộng vế theo vế, ta được: $2(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})\geq2.(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})=>\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c$ Bình luận
Đáp án:
Ta có: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq2.\frac{a}{c}$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b$
Tương tự:
$\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2}\geq2.\frac{c}{b};\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq2.\frac{b}{a}$
Cộng vế theo vế, ta được: $2(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})\geq2.(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})=>\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c$