Cho a,b,c khác 0 thoả mãn a^3+b^3+c^3=abc Tính P=(1+ $\frac{a}{b}$ )(1+ $\frac{b}{c}$ )(1+ $\frac{c}{a}$ )

0 bình luận về “Cho a,b,c khác 0 thoả mãn a^3+b^3+c^3=abc Tính P=(1+ $\frac{a}{b}$ )(1+ $\frac{b}{c}$ )(1+ $\frac{c}{a}$ )”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có : $a^3+b^3+c^3 = 3abc$

   $⇔(a+b)^3+c^3-3ab.(a+b) – 3abc=0$

   $⇔(a+b+c).[(a+b)^2-(a+b).c+c^2]-3ab.(a+b+c) = 0 $

   $⇔(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

   $⇔(a+b+c).[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] = 0 $

   $⇔\left[ \begin{array}{l}a+b+c=0\\a=b=c\end{array} \right.$

   +) Với $a+b+c=0$ thì ta có : $\left\{\begin{array}{l}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{array} \right.$

   Khi đó : $P = \bigg(1+\dfrac{a}{b}\bigg). \bigg(1+\dfrac{b}{c}\bigg). \bigg(1+\dfrac{c}{a}\bigg)$

   $ = \dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a} = \dfrac{-abc}{abc} = -1$

   +) Với $a=b=c$ thì ta có :

   $P = (1+1).(1+1).(1+1) = 8$

   Vậy $P \in \{-1,8\}$ .

   Bình luận

2. Ta có: $P=(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a})$

   $=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{a+c}{a}$ $(*)$

   Ta có: $a³+b³+c³=3abc$

   $⇔(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0$

   $⇔(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)=0$

   $⇔(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²-3ab]=0$

   $⇔(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)=0$

   $⇔2(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=0$

   $⇔(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]=0$

   $⇔\left[ \begin{array}{l}a+b+c=0\\a=b=c\end{array} \right.$

   Với $a+b+c=0$

   $⇒(*)=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=-1$

   $⇒P=-1$

   Với $a=b=c$

   $⇒(*)=\dfrac{2b}{b}.\dfrac{2c}{c}.\dfrac{2a}{a}=8$

   $⇒P=8$

   Có chắc yêu là đây-MTP

   Bình luận