cho a,b,c ko âm thỏa mãn a^2+b^2+c^2+abc=4 chứng minh a^2+b^2+c^2+3abc=<2(a+b+c) 30/08/2021 Bởi Margaret cho a,b,c ko âm thỏa mãn a^2+b^2+c^2+abc=4 chứng minh a^2+b^2+c^2+3abc=<2(a+b+c)
Đáp án: Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\) \(\Rightarrow ab\le2-c\) $⇒2c – c^2≥abc$ Tương tự, $2a – a^2≥abc$;$2b – b^2≥abc$ Cộng vế theo vế ta được: $2(a+b+c)-a^2-b^2-c^2≥3abc$ ⇒ đpcm Bình luận
Trong 3 số a,b,c luôn tồn tại ít nhất 2 số mà hiệu của chúng trừ cho 1 đều cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử là a và b. Vậy: \(c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) \(\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\) Theo AM-GM, ta có: \(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\) \(\Rightarrow ab\le2-c\) Vậy ta có: \(ab+bc+ca-abc\le2-c+bc+ca-\left(ac+bc-c\right)\le2\ nhớ cho mk 5 sao nha Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(\Rightarrow ab\le2-c\)
$⇒2c – c^2≥abc$
Tương tự, $2a – a^2≥abc$;$2b – b^2≥abc$
Cộng vế theo vế ta được:
$2(a+b+c)-a^2-b^2-c^2≥3abc$
⇒ đpcm
Trong 3 số a,b,c luôn tồn tại ít nhất 2 số mà hiệu của chúng trừ cho 1 đều cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử là a và b. Vậy:
\(c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Theo AM-GM, ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(\Rightarrow ab\le2-c\)
Vậy ta có: \(ab+bc+ca-abc\le2-c+bc+ca-\left(ac+bc-c\right)\le2\
nhớ cho mk 5 sao nha