Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{a}{b+c-a}$ +$\frac{b}{a+c-b}$ +$\frac{c}{a+b-c}$ $\geq3$ 05/11/2021 Bởi Raelynn Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{a}{b+c-a}$ +$\frac{b}{a+c-b}$ +$\frac{c}{a+b-c}$ $\geq3$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đặt a=x+y , b=y+z , c=z+x khi đó: $\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$= $\frac{x+y}{2z}$ +$\frac{y+z}{2x}$ +$\frac{x+z}{2y}$ =$\frac{1}{2}$.( $\frac{x}{z}$+ $\frac{y}{z}$+ $\frac{y}{x}$ +$\frac{z}{x}$+ $\frac{x}{y}$ +$\frac{z}{y}$ )=$\frac{1}{2}$.[( $\frac{x}{z}$+ $\frac{z}{x}$ )+($\frac{y}{z}$ +$\frac{z}{y}$ )+($\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$ )]$\geq$ $\frac{1}{2}$(2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$)=$\frac{1}{2}$.(2+2+2)= $\frac{1}{2}$.6 =3 (BĐT Cô-si) Vậy $\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$$\geq$ 3 (đpcm) Bình luận
Đặt $x=b+c-a$ $y=a+c-b$ $z=a+b-c$ $⇒x+z=b+c-a+a+b-c=2b$ $x+y=b+c-a+a+c-b=2c$ $y+z=a+c-b+a+b-c=2a$ Ta có: `(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z` `=y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z` `=(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)` Dễ chứng minh `a/b+b/a≥2` với $a,b>0$ `⇒(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)≥6` `⇒(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z≥6` `⇒(2a)/(b+c-a)+(2b)/(a+c-b)+(2c)/(a+b-c)≥6` `⇒(a)/(b+c-a)+(b)/(a+c-b)+(c)/(a+b-c)≥3` $(Đpcm)$. Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt a=x+y , b=y+z , c=z+x
khi đó:
$\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$= $\frac{x+y}{2z}$ +$\frac{y+z}{2x}$ +$\frac{x+z}{2y}$ =$\frac{1}{2}$.( $\frac{x}{z}$+ $\frac{y}{z}$+ $\frac{y}{x}$ +$\frac{z}{x}$+ $\frac{x}{y}$ +$\frac{z}{y}$ )=$\frac{1}{2}$.[( $\frac{x}{z}$+ $\frac{z}{x}$ )+($\frac{y}{z}$ +$\frac{z}{y}$ )+($\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$ )]$\geq$ $\frac{1}{2}$(2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$)=$\frac{1}{2}$.(2+2+2)= $\frac{1}{2}$.6 =3 (BĐT Cô-si)
Vậy $\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$$\geq$ 3 (đpcm)
Đặt $x=b+c-a$
$y=a+c-b$
$z=a+b-c$
$⇒x+z=b+c-a+a+b-c=2b$
$x+y=b+c-a+a+c-b=2c$
$y+z=a+c-b+a+b-c=2a$
Ta có: `(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z`
`=y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z`
`=(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)`
Dễ chứng minh `a/b+b/a≥2` với $a,b>0$
`⇒(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)≥6`
`⇒(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z≥6`
`⇒(2a)/(b+c-a)+(2b)/(a+c-b)+(2c)/(a+b-c)≥6`
`⇒(a)/(b+c-a)+(b)/(a+c-b)+(c)/(a+b-c)≥3` $(Đpcm)$.