Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{a}{b+c-a}$ +$\frac{b}{a+c-b}$ +$\frac{c}{a+b-c}$ $\geq3$

0 bình luận về “Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: $\frac{a}{b+c-a}$ +$\frac{b}{a+c-b}$ +$\frac{c}{a+b-c}$ $\geq3$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Đặt a=x+y , b=y+z , c=z+x 

   khi đó: 

   $\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$= $\frac{x+y}{2z}$ +$\frac{y+z}{2x}$ +$\frac{x+z}{2y}$ =$\frac{1}{2}$.( $\frac{x}{z}$+ $\frac{y}{z}$+ $\frac{y}{x}$ +$\frac{z}{x}$+ $\frac{x}{y}$ +$\frac{z}{y}$ )=$\frac{1}{2}$.[( $\frac{x}{z}$+ $\frac{z}{x}$ )+($\frac{y}{z}$ +$\frac{z}{y}$ )+($\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$ )]$\geq$ $\frac{1}{2}$(2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$ + 2$\sqrt[2]{1}$)=$\frac{1}{2}$.(2+2+2)= $\frac{1}{2}$.6 =3 (BĐT Cô-si)

   Vậy $\frac{a}{b+c-a}$+$\frac{b}{a+c-b}$+$\frac{a}{a+b-c}$$\geq$ 3 (đpcm)

   Trả lời

2. Đặt $x=b+c-a$

   $y=a+c-b$

   $z=a+b-c$

   $⇒x+z=b+c-a+a+b-c=2b$

   $x+y=b+c-a+a+c-b=2c$

   $y+z=a+c-b+a+b-c=2a$

   Ta có: `(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z`

   `=y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z`

   `=(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)`

   Dễ chứng minh `a/b+b/a≥2` với $a,b>0$

   `⇒(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(x/z+z/x)≥6`

   `⇒(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z≥6`

   `⇒(2a)/(b+c-a)+(2b)/(a+c-b)+(2c)/(a+b-c)≥6`

   `⇒(a)/(b+c-a)+(b)/(a+c-b)+(c)/(a+b-c)≥3` $(Đpcm)$.

    

   Trả lời