cho a b c là 3 cạnh của tam giác a+b+c=2p 1/a+1/b+1/c>= 2(1/a+b+1/b+c+1/c+a)

0 bình luận về “cho a b c là 3 cạnh của tam giác a+b+c=2p 1/a+1/b+1/c>= 2(1/a+b+1/b+c+1/c+a)”

1. Giải thích các bước giải:

   \(a,b,c\) là các cạnh của  tam giác nên \(a,b,c > 0\)

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {\left( {x – y} \right)^2} \ge 0\\
    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy \ge 4xy\\
    \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\\
    \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\\
    \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x,y > 0
   \end{array}\)

   Áp dụng bất đẳng thức trên với \(a,b,c > 0\) ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\\
   \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}\\
   \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}\\
    \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) + \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) + \left( {\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a}} \right) \ge \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}}\\
    \Leftrightarrow 2.\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4.\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\\
    \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 2.\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\) hay tam giác ABC là tam giác đều.

   Bình luận