cho a b c là 3 góc của một tam giác chứng minh rằng: sin² b + sin²c-sin²a =2sinb.sinc.cosa 15/08/2021 Bởi Reese cho a b c là 3 góc của một tam giác chứng minh rằng: sin² b + sin²c-sin²a =2sinb.sinc.cosa
Ta đi chứng minh đẳng thức ${\sin ^2}C – {\sin ^2}A = \sin \left( {C + A} \right)\sin \left( {C – A} \right)$ $\begin{array}{l} \sin \left( {C + A} \right)\sin \left( {C – A} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {C + A – C + A} \right) – \cos \left( {C + A + C – A} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2A – \cos 2C} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}A – 1 + 2{{\sin }^2}C} \right) = {\sin ^2}C – {\sin ^2}A \end{array}$ $\begin{array}{l} {\sin ^2}B + {\sin ^2}C – {\sin ^2}A\\ = {\sin ^2}B + \sin \left( {C – A} \right)\sin \left( {C + A} \right) = {\sin ^2}B + \sin \left( {\pi – B} \right)\sin \left( {C – A} \right)\\ = {\sin ^2}B + \sin B\sin \left( {C – A} \right)\\ = \sin B\left[ {\sin B + \sin \left( {C – A} \right)} \right]\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{{B + C – A}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{B – C + A}}{2}} \right)\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{{B + C + A}}{2} – A} \right)\cos \left( {\dfrac{{B + C + A}}{2} – C} \right)\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} – A} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} – C} \right)\\ = 2\sin B.\cos A.\sin C \end{array}$ Bình luận
Ta đi chứng minh đẳng thức ${\sin ^2}C – {\sin ^2}A = \sin \left( {C + A} \right)\sin \left( {C – A} \right)$
$\begin{array}{l} \sin \left( {C + A} \right)\sin \left( {C – A} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {C + A – C + A} \right) – \cos \left( {C + A + C – A} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2A – \cos 2C} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}A – 1 + 2{{\sin }^2}C} \right) = {\sin ^2}C – {\sin ^2}A \end{array}$
$\begin{array}{l} {\sin ^2}B + {\sin ^2}C – {\sin ^2}A\\ = {\sin ^2}B + \sin \left( {C – A} \right)\sin \left( {C + A} \right) = {\sin ^2}B + \sin \left( {\pi – B} \right)\sin \left( {C – A} \right)\\ = {\sin ^2}B + \sin B\sin \left( {C – A} \right)\\ = \sin B\left[ {\sin B + \sin \left( {C – A} \right)} \right]\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{{B + C – A}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{B – C + A}}{2}} \right)\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{{B + C + A}}{2} – A} \right)\cos \left( {\dfrac{{B + C + A}}{2} – C} \right)\\ = 2\sin B\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} – A} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} – C} \right)\\ = 2\sin B.\cos A.\sin C \end{array}$