Cho a, b, c là 3 số đôi một thỏa mãn :
(a+b+c) ^2 = a^2+ b^2+c^2
Tính P= a^2/a^2+2bc + b^2/b^2+2ac +
c^2/ c^2+2ab
Cho a, b, c là 3 số đôi một thỏa mãn :
(a+b+c) ^2 = a^2+ b^2+c^2
Tính P= a^2/a^2+2bc + b^2/b^2+2ac +
c^2/ c^2+2ab
Đáp án: P=1
Giải thích các bước giải:
Ta có: (a+b+c)2(a+b+c)2 = a2a2 + b2b2 + c2c2
⇔ (a+b+c)2(a+b+c)2 – (a2a2 + b2b2 + c2c2) = 0
⇔ 2.(ab + bc +ca) = 0
⇔ ab + bc + ca = 0
Suy ra:
a2a2 + 2bc = a2a2 + bc – (ca + ab) = a.(a – c) – b. (a – c) = (a – b).(a – c)
Tương tự ta có: b2b2 + 2ac = (b – a).(b – c) và c2c2 + 2ab = (c – a).(c – b)
Vậy nên:
P = a2a2+2bca2a2+2bc + b2b2+2acb2b2+2ac + c2c2+2abc2c2+2ab
= a2(a−b)(a−c)a2(a−b)(a−c) + b2(b−a)(b−c)b2(b−a)(b−c) + c2(c−a)(c−b)c2(c−a)(c−b)
= a2(b−c)(a−b)(a−c)(b−c)a2(b−c)(a−b)(a−c)(b−c) + b2(c−a)(a−b)(a−c)(b−c)b2(c−a)(a−b)(a−c)(b−c) + c2(a−b)(a−c)(a−b)(b−c)c2(a−b)(a−c)(a−b)(b−c)
= 1.
Đáp án: P=1
Giải thích các bước giải:
Ta có: $(a+b+c)^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$
⇔ $(a+b+c)^{2}$ – ($a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$) = 0
⇔ 2.(ab + bc +ca) = 0
⇔ ab + bc + ca = 0
Suy ra:
$a^{2}$ + 2bc = $a^{2}$ + bc – (ca + ab) = a.(a – c) – b. (a – c) = (a – b).(a – c)
Tương tự ta có: $b^{2}$ + 2ac = (b – a).(b – c) và $c^{2}$ + 2ab = (c – a).(c – b)
Vậy nên:
P = $\frac{a^{2}}{a^{2} + 2bc}$ + $\frac{b^{2}}{b^{2} + 2ac}$ + $\frac{c^{2}}{c^{2} + 2ab}$
= $\frac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}$ + $\frac{b^{2}}{(b-a)(b-c)}$ + $\frac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$
= $\frac{a^{2}(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$ + $\frac{b^{2}(c-a)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$ + $\frac{c^{2}(a-b)}{(a-c)(a-b)(b-c)}$
= 1.