cho a,b,c là 3 số thực dương thoả mãn a+b+c=3 . CMR : $\frac{a+1}{b^2+1}$ + $\frac{b+1}{c^2+1}$ + $\frac{c+1}{a^2+1}$ ≥ 3

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$\frac{a + 1 }{b^{2}+1}$ = a + 1 – $\frac{(a + 1)b^{2} }{b^{2}+1}$ ≥ a + 1 – $\frac{(a + 1)b^{2} }{2b}$ = a + 1 – $\frac{ab + b}{2}$

Tương tự ta có: $\frac{b + 1 }{c^{2}+1}$ ≥ b + 1 – $\frac{bc + c}{2}$ và $\frac{c + 1 }{a^{2}+1}$ ≥ c + 1 – $\frac{ac + a}{2}$

Suy ra: $\frac{a + 1 }{b^{2}+1}$ + $\frac{b + 1 }{c^{2}+1}$ + $\frac{c + 1 }{a^{2}+1}$ ≥ (a + 1 – $\frac{ab + b}{2}$) + (b + 1 – $\frac{bc + c}{2}$) + (c + 1 – $\frac{ac + a}{2}$)

                                                        = 3 + $\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}$ ≥ 3 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1.