Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và a $\leq$ b$\leq$ c Chứng minh (a+b+c)^2 <= 9bc

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT trong tam giác ta có

`a+b>c->a+b-c>0`

`+)c>=b->c-b>=0`

`->(c-b)(a+b-c)>=0`

` leftrightarrow (b-c)(a+b-c)<=0`

` leftrightarrow ab+b^2-bc-ac-bc+c^2<=0`

` leftrightarrow ab+b^2+c^2<=ac+2bc`

Mà `a<=b`

` leftrightarrow ab+b^2+c^2<=3bc(1)`

`+)a<=b<=c->a^2<=bc(2)`

`+)a<=c->ab<=bc(3)`

`a<=b->2ac<=2bc(4)`

Cộng từng vế (1),(2),(3),(4)

`->a^2+b^2+c^2+2ab+2ca<=7bc`

`->a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca<=9bc`

`Hay \ (a+b+c)^2<=9bc(ĐPCM)`