Cho a,b,c là ba số dương.Cmr: $\frac{ab}{a+b}$ +$\frac{bc}{b+c}$ + $\frac{ca}{c+a}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{2}$ 28/10/2021 Bởi Rylee Cho a,b,c là ba số dương.Cmr: $\frac{ab}{a+b}$ +$\frac{bc}{b+c}$ + $\frac{ca}{c+a}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{2}$
Theo bđt cô si ta có: $√xy≤$$\dfrac{x+y}{2}$ ⇒$xy≤$$\dfrac{(x+y)^2}{4}$ Dấu = xảy ra ⇔$x=y$ Áp dụng bđt này ta có: $ab≤$$\dfrac{(a+b)^2}{4}$ ⇒$\dfrac{ab}{a+b}$$≤$$\dfrac{(a+b)^2}{4}$$:(a+b)=$$\dfrac{a+b}{4}$ $bc≤$$\dfrac{(b+c)^2}{4}$ ⇒$\dfrac{bc}{b+c}$$≤$$\dfrac{(b+c)^2}{4}$$:(c+b)=$$\dfrac{c+b}{4}$ $ca≤$$\dfrac{(a+c)^2}{4}$ ⇒$\dfrac{ac}{a+c}$$≤$$\dfrac{(a+c)^2}{4}$$:(a+c)=$$\dfrac{a+c}{4}$ ⇒$\dfrac{ab}{a+b}$+$\dfrac{bc}{b+c}$+$\dfrac{ac}{a+c}$ $\leq$$\dfrac{a+b}{4}$+$\dfrac{c+b}{4}$+$\dfrac{a+c}{4}$=$\dfrac{2(a+b+c)}{4}$=$\dfrac{a+b+c}{2}$ ⇒$đpcm$ Dấu = xảy ra ⇔$a=b=c$ Bình luận
Theo bđt cô si ta có: $√xy≤$$\dfrac{x+y}{2}$
⇒$xy≤$$\dfrac{(x+y)^2}{4}$
Dấu = xảy ra ⇔$x=y$
Áp dụng bđt này ta có:
$ab≤$$\dfrac{(a+b)^2}{4}$
⇒$\dfrac{ab}{a+b}$$≤$$\dfrac{(a+b)^2}{4}$$:(a+b)=$$\dfrac{a+b}{4}$
$bc≤$$\dfrac{(b+c)^2}{4}$
⇒$\dfrac{bc}{b+c}$$≤$$\dfrac{(b+c)^2}{4}$$:(c+b)=$$\dfrac{c+b}{4}$
$ca≤$$\dfrac{(a+c)^2}{4}$
⇒$\dfrac{ac}{a+c}$$≤$$\dfrac{(a+c)^2}{4}$$:(a+c)=$$\dfrac{a+c}{4}$
⇒$\dfrac{ab}{a+b}$+$\dfrac{bc}{b+c}$+$\dfrac{ac}{a+c}$ $\leq$$\dfrac{a+b}{4}$+$\dfrac{c+b}{4}$+$\dfrac{a+c}{4}$=$\dfrac{2(a+b+c)}{4}$=$\dfrac{a+b+c}{2}$
⇒$đpcm$
Dấu = xảy ra ⇔$a=b=c$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: