Cho a,b,c là ba số nguyên khác 0 thỏa $\frac{1}{a}$ =$\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng abc chia hết cho 4
Cho a,b,c là ba số nguyên khác 0 thỏa $\frac{1}{a}$ =$\frac{1}{b}$+ $\frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng abc chia hết cho 4
Đáp án:
CÓ 2 cách
Giải thích các bước giải:c1: 1a=1b+1c⇔bc=a(b+c)⇔abc=a2(b+c)(2)1a=1b+1c⇔bc=a(b+c)⇔abc=a2(b+c)(2)
Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn.
Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
Nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2.
Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn. Vậy abc chia hết cho 2.
Tương tự cho trường hợp c chẵn.
Cách 2: 1a=1b+1c⇔bc=a(b+c)(1)1a=1b+1c⇔bc=a(b+c)(1)
TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a(b+c)⋮2a(b+c)⋮2, theo (1) Suy ra: b.c⋮2b.c⋮2
Vậy abc chia hết cho 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ. Với b và c là hai số cũng lẻ thì: b+c⋮2⇒a(b+c)⋮2b+c⋮2⇒a(b+c)⋮2
Mà a.b.ca.b.c không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ). Suy ra mâu thuẫn.
Vậy trong hai số b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
ý 1:Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Suy ra abc chia hết cho 4
ý2: Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4