Cho a,b,c là ba số nguyên thỏa mãn a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a). Chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 chi hết cho 81
Cho a,b,c là ba số nguyên thỏa mãn a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a). Chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 chi hết cho 81
By Madelyn
By Madelyn
Cho a,b,c là ba số nguyên thỏa mãn a+b+c=(a-b)(b-c)(c-a). Chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 chi hết cho 81
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ta có (a-b)^3 +(b-c)^3+(C-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)
xét dư của phép chia a , b , c cho 3
nếu cả 3 số dư khác nhau là 0,1,2 thì a+B+c chia hết 3,khi đó tích (a-b)(b-c)(c-a) ko chia hết 3 vô lí
nếu có 2 dư bằng nhau thì a+B+c ko chi hết 3 và 1 trong 3 hiều a-b ;b-c ;c-a chia hết cho 3 vô lí
nếu có 3 số bằng nhau khi đố tích 3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết 3 x3 x3 x3 nên chia hết 81
suy ra đpcm
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do tổng: (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0 ⇒ Ta có:
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a) ³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
⇔ Ta xét 3 số dư của phép chia a,b,c cho 3
Nếu cả 3 số dư khác nahu là 0,1,2 thì ⇒ ( a+b+c ) chia hết cho 3
⇒ tích (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 3 ⇒ trái với đề bài.
Nếu ta có hai số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3
Khi đó một trong 3 hiệu a-b; b-c; c-a ⇒ chia hết cho 3 ⇒ trái với đề bài ra
Vậy trường hợp 3 số a,b,c sẽ đều có cùng số dư khi chia chúng cho 3
⇒ Tích 3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3×3×3×3 ⇒ Tổng (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ chia hết cho 81