Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn hệ thức 3a+3b+c=12. Tìm GTNN của biểu thức A=1/a + 4/b + 3/c 10/11/2021 Bởi Brielle Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn hệ thức 3a+3b+c=12. Tìm GTNN của biểu thức A=1/a + 4/b + 3/c
Đáp án: $\min A = 4 \Leftrightarrow (a;b;c)=(1;2;3)$ Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được: $\dfrac{3}{3a} +\dfrac{12}{3b} + \dfrac{3}{c}\geq \dfrac{(\sqrt3 + 2\sqrt3 + \sqrt3)^2}{3a+3b + c}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} +\dfrac{4}{b} + \dfrac{3}{c}\geq \dfrac{48}{12}$ $\Leftrightarrow A \geq 4$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{3a}{\sqrt3} =\dfrac{3b}{2\sqrt3} =\dfrac{c}{\sqrt3} =\dfrac{3a + 3b + c}{\sqrt3 + 2\sqrt3+ \sqrt3}=\dfrac{12}{4\sqrt3}=\sqrt3$ $\Leftrightarrow \begin{cases}a= 1\\b = 2\\c = 3\end{cases}$ Vậy $\min A = 4 \Leftrightarrow (a;b;c)=(1;2;3)$ Bình luận
Đáp án:
$\min A = 4 \Leftrightarrow (a;b;c)=(1;2;3)$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{3}{3a} +\dfrac{12}{3b} + \dfrac{3}{c}\geq \dfrac{(\sqrt3 + 2\sqrt3 + \sqrt3)^2}{3a+3b + c}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} +\dfrac{4}{b} + \dfrac{3}{c}\geq \dfrac{48}{12}$
$\Leftrightarrow A \geq 4$
Dấu $=$ xảy ra
$\Leftrightarrow \dfrac{3a}{\sqrt3} =\dfrac{3b}{2\sqrt3} =\dfrac{c}{\sqrt3} =\dfrac{3a + 3b + c}{\sqrt3 + 2\sqrt3+ \sqrt3}=\dfrac{12}{4\sqrt3}=\sqrt3$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a= 1\\b = 2\\c = 3\end{cases}$
Vậy $\min A = 4 \Leftrightarrow (a;b;c)=(1;2;3)$