cho a,b,c là các số dương.tìm `min` `A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

Đáp án:

`A_{min}=9` khi `a=b=c`

Giải thích các bước giải:

 `A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

`=a.(1/a+1/b+1/c)+b.(1/a+1/b+1/c)+c.(1/a+1/b+1/c)`

`=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`

`=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

`=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm `a;b;c` ta có:

`a/b+b/a≥2\sqrt{a/b.(b)/a}=2`

`a/c+c/a≥2\sqrt{a/c.(c)/a}=2`

`b/c+c/b≥2\sqrt{b/c.(c)/b}=2`

`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2`

`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6`

`\to3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥9`

`\toA≥9`

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: `a=b=c`

Vậy `A_{min}=9` khi `a=b=c`