cho a,b,c là các số dương.tìm `min` `A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

0 bình luận về “cho a,b,c là các số dương.tìm `min` `A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`”

1. Đáp án:

   `A_{min}=9` khi `a=b=c`

   Giải thích các bước giải:

    `A=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

   `=a.(1/a+1/b+1/c)+b.(1/a+1/b+1/c)+c.(1/a+1/b+1/c)`

   `=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`

   `=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   `=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm `a;b;c` ta có:

   `a/b+b/a≥2\sqrt{a/b.(b)/a}=2`

   `a/c+c/a≥2\sqrt{a/c.(c)/a}=2`

   `b/c+c/b≥2\sqrt{b/c.(c)/b}=2`

   `\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥2+2+2`

   `\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6`

   `\to3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥9`

   `\toA≥9`

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: `a=b=c`

   Vậy `A_{min}=9` khi `a=b=c`

   Bình luận

2. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   `A = (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c)`
   `= 1 + a/b + a/c + b/a + 1 + b/c + c/a + c/b + 1`
   `= 3 + (a/b + b/a) + (b/c + c/b) + (c/a + a/c)`
   Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương

   ta được:

   `a/b + b/a >= 2√(a/b.b/a) = 2`
   `b/c + c/b >= 2√(b/c.c/b) = 2`
   `c/a + a/c >= 2√(c/a.a/c) = 2`
   ` to A >= 3 + 2 + 2 + 2 = 9`
   Dấu `”=”` xảy ra khi

   `a/b = b/a`

   `b/c = c/b`

   `c/a = a/c`

    `⇔a = b = c`

   vậy `A_{min}=9`

   Bình luận