Cho a;b;c là các số nguyên dương chứng tỏ rằng:
M=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$=$\frac{c}{c+a}$ không phải là một số nguyên dương.
Cho a;b;c là các số nguyên dương chứng tỏ rằng:
M=$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$=$\frac{c}{c+a}$ không phải là một số nguyên dương.
Đáp án:
`text{Ta có :}` `M = a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a)`
`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{a + b} > \dfrac{a}{a +b+c}\\ \dfrac{b}{b + c} > \dfrac{b}{b + a +c}\\ \dfrac{c}{c + a} > \dfrac{c}{c + a + b}\end{array} \right.\)
`⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) > a/(a + b + c) + b/(b + a + c) + c/(c + a + b)`
`⇔ M = (a + b + c)/(a + b + c) = 1 (1)`
`text{Mặt khác :}`
`text{Ta có :}`
`⇔` \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{a + b} < \dfrac{a+c}{a +b+c}\\ \dfrac{b}{b + c} <\dfrac{b+a}{b + a + c}\\ \dfrac{c}{c + a} < \dfrac{c + b}{c + a + b}\end{array} \right.\)
`⇔ a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) <(a + c)/(a + b + c) + (b + a)/(b + a + c) + (c + b)/(c + a + b)`
`⇔ M < (2 ( a + b + c) )/(a + b + c) = 2`
`text{Từ (1) và (2)}`
`-> 1 < M < 2`
`->` `text{Điều phải chứng minh}`
Đáp án:
`M` không phải là một số nguyên dương
Giải thích các bước giải:
Vì `a,b,c` là các số nguyên dương nên
Ta có:
`M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}`
`=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1` `(1)`
Lại có:
`M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{c+a+b}`
`=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=>1<M<2`
`=>` `M` không phải là một số nguyên dương vì giữa hai số nguyên dương liên tiếp không có số nguyên dương nào