Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn (a+b+c) chia hết cho 3. CMR: $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ + $3a^{2}$ + $3b^{2}$ + $3c^{2}$ chia hết cho 6

0 bình luận về “Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn (a+b+c) chia hết cho 3. CMR: $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ + $3a^{2}$ + $3b^{2}$ + $3c^{2}$ chia hết cho 6”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có `a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + 3abc`

   Thay vào biểu thức ta có : `a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2 \vdots 6`

   `=(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + 3abc +3a^2+3b^2+3c^2`

   `= (a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + 3(abc +a^2+b^2+c^2` chia hết cho 6 nên :

   `(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)` chia hết cho 6 (1)

   Ta lai có : a;b;c là các số tự nhiên nên abc sẽ chia hết cho 2

   `a^2 + b^2 + c^2 ` đều chia hết cho 2 mà

   `3(abc +a^2+b^2+c^2)` chia hết cho 3

   `\Rightarrow 3(abc +a^2+b^2+c^2)` chia hết cho 6 (2)

   Từ (1) và (2) ⇒ đpcm

   Bình luận