Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c =3$. Tìm GTNN
Đặt $(a+b+c;ab+bc+ca;abc)=(p;q;r)$. Theo đề: $p=3$.
Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq\implies 27+9r\ge 12q\implies 9+3r\ge 4q\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.
Khi đó: $abc+\frac{12}{ab+bc+ca}=r+\frac{12}{q}\ge \frac{4q-9}{3}+\frac{12}{q}=\frac{4q}{3}+\frac{12}{q}-3=\frac{4}{3}(q+\frac{9}{q})-3\ge \frac{4}{3}.2.3-3=5$.
Vậy GTNN cần tìm là $5$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.
_____________________________________________________________
giải thích cho em chỗ Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq$
Giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c>0$
$\to a(a-b)(a-c)\ge b(a-b)(b-c)$ và $c(c-a)(c-b)\ge 0$
$\to a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)\ge b(a-b)(b-c)+b(b-a)(b-c)=0$
$\to a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\ge 0$
$\to a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$
Ta cần chứng minh $p^3+9r\ge 4pq$
$\leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc- 4(a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 0$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc-(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))\ge 0$ đúng
$\to đpcm$