Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc<=1. CMR:
a(1-b^3)/b^3 + b(1-c^3)/c^3 + c(1-a^3)/a^3 >=0
CÁC BẠN GIÚP MÌNH VỚI
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc<=1. CMR:
a(1-b^3)/b^3 + b(1-c^3)/c^3 + c(1-a^3)/a^3 >=0
CÁC BẠN GIÚP MÌNH VỚI
Trước hết, ta CM `a/b^3+b/c^3+c/a^3\ge 1/a^2+1/b^2+1/c^2`
Áp dụng BĐT `Cauchy`: `a/b^3+a/b^3+1/a^2\ge 3/b^2`
`b/c^3+b/c^3+1/b^2\ge 3/c^2`
`c/a^3+c/a^3+1/c^2\ge 3/a^2`
`⇔2(a/b^3+b/c^3+c/a^3)+1/a^2+1/b^2+1/c^2\ge 3(1/a^2+1/b^2+1/c^2)`
`⇔a/b^3+b/c^3+c/a^3\ge 1/a^2+1/b^2+1/c^2 (1)`
Lại có `abc\le 1`
`⇔1/a^2+1/b^2+1/c^2\ge (bc)/a+(ca)/b+(ab)/c (2)`
Tiếp tục áp dụng BĐT `Cauchy`
`1/2((bc)/a+(ca)/b)\ge c`
`1/2((ca)/b+(ab)/c)\ge a`
`1/2((ab)/c+(bc)/a)\ge b`
`⇔(bc)/a+(ca)/b+(ab)/c\ge a+b+c (3)`
Từ `(1); (2); (3)⇔a/b^3+b/c^3+c/a^3\ge a+b+c`
`⇔Đpcm`
Dấu `=` xảy ra `⇔a=b=c=1`