Cho `a, b, c` là các số thực không âm thỏa mãn `a + b + c = 1 `. CMR `1/(a^2 + b^2) + 1/(b^2 + c^2) + 1/(c^2 + a^2) >= 10`

Đáp án:

 Do `a,b,c ≥ 0`

`-> a^2 + b^2 ≤ (a^2 + ac + c^2/4) + (b^2 + bc + c^2/4) = (a + c/2)^2 + (b + c/2)^2`

  ta dễ dàng

`-> b^2 + c^2 ≤ (b + c/2)^2`

     `c^2 + a^2 ≤ (a + c/2)^2`

`-> 1/(a^2 + b^2) + 1/(b^2 + c^2) + 1/(c^2 + a^2) ≥ 1/((a + c/2)^2 + (b + c/2)^2) + 1/(b + c/2)^2 + 1/(a + c/2)^2`

`(AM-GM) -> 1/(b + c/2)^2 + 1/(a + c/2)^2 ≥ 2/[(b + c/2)(a + c/2)]`

`-> 1/((a + c/2)^2 + (b + c/2)^2) + 1/(b + c/2)^2 + 1/(a + c/2)^2 ≥ 1/((a + c/2)^2 + (b + c/2)^2) + 2/[(b + c/2)(a + c/2)]`

`(Bu-nhi-a) -> 1/((a + c/2)^2 + (b + c/2)^2)  + 1/[2(b + c/2)(a + c/2)] ≥ (1 + 1)^2/[(a + c/2)^2 + (b + c/2)^2 + 2(b + c/2)(a + c/2)] = 4/[(a + c/2 + b + c/2)^2] = 4/[(a + b + c)^2] = 4 (1)`

`+)  3/[2(b + c/2)(a + c/2)] = 6/[4(b + c/2)(a + c/2)] ≥ 6/[(b + c/2 + a + c/2)^2] = 6/[(a + b + c)^2] = 6 (2)`   `(4ab ≤ (a + b)^2)`

Cộng `(1) + (2)` ta được

` 1/((a + c/2)^2 + (b + c/2)^2) + 2/[(b + c/2)(a + c/2)] ≥ 4 + 6 = 10`

Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0 ; 1/2 ; 1/2)`

Giải thích các bước giải: