cho `a,b,c` là các số thực không âm và `a+b+c=3`. Chứng minh `a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca≥6`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $a^3+a^3+1 \geq 3a^2$

$b^3+b^3+1 \geq 3b^2$

$c^3+c^3+1 \geq 3c^2$

Cộng vế với vế:

$2(a^3+b^3+c^3)+3 \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

$⇒a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}$

$⇒P \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}+ab+bc+ca$

$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+a^2+b^2+c^2-\dfrac{3}{2}$

$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2-\dfrac{3}{2}=6$

Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$