cho `a,b,c` là các số thực không âm và `a+b+c=3`. Chứng minh `a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca≥6` 18/11/2021 Bởi Kinsley cho `a,b,c` là các số thực không âm và `a+b+c=3`. Chứng minh `a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca≥6`
Đáp án: Giải thích các bước giải: $a^3+a^3+1 \geq 3a^2$ $b^3+b^3+1 \geq 3b^2$ $c^3+c^3+1 \geq 3c^2$ Cộng vế với vế: $2(a^3+b^3+c^3)+3 \geq 3(a^2+b^2+c^2)$ $⇒a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}$ $⇒P \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}+ab+bc+ca$ $⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+a^2+b^2+c^2-\dfrac{3}{2}$ $⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2-\dfrac{3}{2}=6$ Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a^3+a^3+1 \geq 3a^2$
$b^3+b^3+1 \geq 3b^2$
$c^3+c^3+1 \geq 3c^2$
Cộng vế với vế:
$2(a^3+b^3+c^3)+3 \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$⇒a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}$
$⇒P \geq \dfrac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)-\dfrac{3}{2}+ab+bc+ca$
$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)+a^2+b^2+c^2-\dfrac{3}{2}$
$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2-\dfrac{3}{2}=6$
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$