Cho $ a,\,b,\,c $ là các số thuộc $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ \dfrac{1}{{}4{ a ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{3}{{}4{ c ^ 4 }+5}=\dfrac{6}{7} $ .
Giá trị lớn nhất của $ P=a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 } $ là
Cho $ a,\,b,\,c $ là các số thuộc $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ \dfrac{1}{{}4{ a ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{3}{{}4{ c ^ 4 }+5}=\dfrac{6}{7} $ .
Giá trị lớn nhất của $ P=a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 } $ là
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta chứng minh BĐT sau:
Với $ x,y $ thuộc $ [0,1] $ , ta luôn có $ \dfrac{1}{{}4{ x ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{{}4{ y ^ 4 }+5}\le \dfrac{2}{{}4{ x ^ 2 }{ y ^ 2 }+5} $ (*).
Thật vậy, BĐT (*)
$ \Leftrightarrow \left( 2{ x ^ 4 }+2{ y ^ 4 }+5 \right)\left( 4{ x ^ 2 }{ y ^ 2 }+5 \right)\le \left( 4{ x ^ 4 }+5 \right)\left( 4{ y ^ 4 }+5 \right) $
$ \Leftrightarrow 8{ x ^ 4 }{ y ^ 4 }-10{ x ^ 2 }{ y ^ 2 }+\left( { x ^ 4 }+{ y ^ 4 } \right)\left( 5-4{ x ^ 2 }{ y ^ 2 } \right)\ge 0 $
$ \Leftrightarrow (5-4{ x ^ 2 }{ y ^ 2 }){{({ x ^ 2 }-{ y ^ 2 })}^ 2 }\ge 0 $ (đúng với $ x,y\in [0,1] $ ).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ x=y $ .
Áp dụng BĐT (*) ta có: $ \dfrac{1}{{}4{ a ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{{}4{ c ^ 4 }+5}\le \dfrac{2}{{}4{ a ^ 2 }{ c ^ 2 }+5},\,\,\dfrac{1}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{{}4{ c ^ 4 }+5}\le \dfrac{2}{{}4{ b ^ 2 }{ c ^ 2 }+5} $
Suy ra $ \dfrac{1}{{}4{ a ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{{}4{ c ^ 4 }+5}\le \dfrac{2}{{}4{ a ^ 2 }{ c ^ 2 }+5}+\dfrac{2}{{}4{ b ^ 2 }{ c ^ 2 }+5}\le \dfrac{4}{{}4ab{ c ^ 2 }+5} $ (1)
Và $ \dfrac{1}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{7} \le \dfrac{2}{{}4.\dfrac{{ b ^ 2 }}{\sqrt{2} }+5},\,\,\dfrac{1}{{}{ c ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{7} \le \dfrac{2}{{}4.\dfrac{{ c ^ 2 }}{\sqrt{2} }+5} $
Suy ra $ \dfrac{1}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{1}{{}4{ c ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{7} \le \dfrac{2}{{}4.\dfrac{{ b ^ 2 }}{\sqrt{2} }+5}+\dfrac{2}{{}4.\dfrac{{ c ^ 2 }}{\sqrt{2} }+5}\le \dfrac{4}{{}4.\dfrac{bc}{\sqrt{2} }+5} $ (2)
Ta lại có $ \dfrac{4}{{}4ab{ c ^ 2 }+5}+\dfrac{4}{{}4.\dfrac{bc}{\sqrt{2} }+5}\le \dfrac{8}{{}4.\sqrt{\dfrac{a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 }}{\sqrt{2} }}+5} $ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có $ \dfrac{1}{{}4{ a ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{{}4{ b ^ 4 }+5}+\dfrac{3}{{}4{ c ^ 4 }+5}+\dfrac{2}{7} \le \dfrac{8}{{}4.\sqrt{\dfrac{a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 }}{\sqrt{2} }}+5} $
Kết hợp giả thiết suy ra $ \dfrac{8}{{}4.\sqrt{\dfrac{a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 }}{\sqrt{2} }}+5}\ge \dfrac{8}{7} \Rightarrow a{ b ^ 2 }{ c ^ 3 }\le \dfrac{\sqrt{2} } 4 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=\sqrt[4]{\dfrac{1}{2} } $.
Vậy \max P=\frac{1}{16}$ khi và chỉ khi $ a=b=c=\sqrt[4]{\dfrac{1}{2} } $.