Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn a2 + b2 = c2. Chứng minh rằng tích abc chia hết cho 60
0 bình luận về “Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn a2 + b2 = c2. Chứng minh rằng tích abc chia hết cho 60”
Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3 => a2= 1 (mod3) và b2 = 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1) => a2 + b2 = 2 (mod3) nhưng c2= 1 (mod3) => mâu thuẫn Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1) + Tương tự,có ít nhất 1 số chia hết cho 4,vì giả sử cả 3 số a,b,c đều không chia hết cho 4 => a2 = 1 (mod4) và b2 = 1 (mod4) => a2 + b2 = 2 (mod 4) nhưng c2 = 1 (mod 4) => mâu thuẫn vậy có ít nhất 1 số cgia hết cho 4 (2) + tương tự a2 = 1 (mod 5) hoặc a2 = -1 (mod 5) hoạc a2 = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3 => phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3) Từ (1),(2) và (3)⇒ abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60
$ a^2 ≡ 1$ ( mod 3 ) ( đây bn hỏi vì sao nó lại đồng dư với 1 ko -tí nx mk sẽ comment ở dưới )
$ b^2 ≡ 1$ ( mod 3)
=> $a^2 + b^2 ≡ 1 + 1 ( mod 3)$
=> $a^2 + b^2 ≡ 2 ( mod 3)$
=> $a^2 + b^2$ chia 3 dư 2
mà $c^2$ chia 2 dư 1 < Vô lí >
=> Tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3
Hoàn toàn tương tự ( Lưu ý – nếu các bước làm giống nhau thì bn có thể nói là ” Hoàn toàn tương tự và suy ra chứ không ghi thêm cách làm – Họ ko trừ điểm đâu)
Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3
=> a2= 1 (mod3) và b2 = 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)
=> a2 + b2 = 2 (mod3) nhưng c2= 1 (mod3) => mâu thuẫn
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1)
+ Tương tự,có ít nhất 1 số chia hết cho 4,vì giả sử cả 3 số a,b,c đều không chia hết cho 4
=> a2 = 1 (mod4) và b2 = 1 (mod4) => a2 + b2 = 2 (mod 4) nhưng c2 = 1 (mod 4) => mâu thuẫn
vậy có ít nhất 1 số cgia hết cho 4 (2) + tương tự a2 = 1 (mod 5) hoặc a2 = -1 (mod 5) hoạc a2 = 4 (mod 5)
và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3
=> phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)
Từ (1),(2) và (3)⇒ abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60
cho minh cau tra loi hay nhat nha
xin cam on
CHÚC BẠN HỌC TỐT
Lưu ý : HSG thì mới lm đc ( Áp dụng đồng dư )
Giả sử 3 số : a , b , c đều không chia hết cho 2
Ta có :
$ a^2 ≡ 1$ ( mod 3 ) ( đây bn hỏi vì sao nó lại đồng dư với 1 ko -tí nx mk sẽ comment ở dưới )
$ b^2 ≡ 1$ ( mod 3)
=> $a^2 + b^2 ≡ 1 + 1 ( mod 3)$
=> $a^2 + b^2 ≡ 2 ( mod 3)$
=> $a^2 + b^2$ chia 3 dư 2
mà $c^2$ chia 2 dư 1 < Vô lí >
=> Tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3
Hoàn toàn tương tự ( Lưu ý – nếu các bước làm giống nhau thì bn có thể nói là ” Hoàn toàn tương tự và suy ra chứ không ghi thêm cách làm – Họ ko trừ điểm đâu)
=> Tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 và 5
Do (3,4,5) = 1
=> abc chia hết cho 3.4.5
=> abc chia hết cho 60