Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh 1 tam giác, `a+b+c=1` Cmr `a^2+b^2+c^2≤1/2` 18/10/2021 Bởi Mary Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh 1 tam giác, `a+b+c=1` Cmr `a^2+b^2+c^2≤1/2`
Đáp án+Giải thích các bước giải: Áp dụng BĐT tam giác ta có: `b+c>a` `<=>ab+ac>a^2` Hoàn toàn tương tự: `=>bc+ba>b^2,ca+cb>c^2` `=>a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` `=>2(a^2+b^2+c^2)<(a+b+c)^2=1` `=>a^2+b^2+c^2<1/2` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: $ a, b, c $ là độ dài $3$ cạnh tam giác nên: $ a < b + c ⇔ a² < ab + ca (1)$ $ b < c + a ⇔ b² < bc + ab (2)$ $ c < a + b ⇔ c² < ca + bc (3)$ $(1) + (2) + (3):$ $ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)$ $ ⇔ 2(a² + b² + c²) < a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)$ $ ⇔ 2(a² + b² + c²) < (a + b + c)² = 1$ $ ⇔ a² + b² + c² < \dfrac{1}{2} (đpcm)$ Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
`b+c>a`
`<=>ab+ac>a^2`
Hoàn toàn tương tự:
`=>bc+ba>b^2,ca+cb>c^2`
`=>a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`
`=>2(a^2+b^2+c^2)<(a+b+c)^2=1`
`=>a^2+b^2+c^2<1/2`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ a, b, c $ là độ dài $3$ cạnh tam giác nên:
$ a < b + c ⇔ a² < ab + ca (1)$
$ b < c + a ⇔ b² < bc + ab (2)$
$ c < a + b ⇔ c² < ca + bc (3)$
$(1) + (2) + (3):$
$ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)$
$ ⇔ 2(a² + b² + c²) < a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)$
$ ⇔ 2(a² + b² + c²) < (a + b + c)² = 1$
$ ⇔ a² + b² + c² < \dfrac{1}{2} (đpcm)$