cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và a+b+c=2.Chứng minh rằng a*a+b*b+c*c+2abc<2

0 bình luận về “cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và a+b+c=2.Chứng minh rằng a*a+b*b+c*c+2abc<2”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

    Theo bất đẳng thức tam giác:

   a+b>c=>a+b+c>2c=>2>2c=>1>c

   a+c>b=>a+b+c>2b=>2>2b=>1>b

   b+c>a=>a+b+c>2a=>2>2a=>1>a

   =>(1-a)(1-b)(1-c)>0

   =>(1-a-b+ab)(1-c)>0

   =>1-a-b+ab-c+ac+bc-abc>0

   =>1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc>0

   =>1-2+ab+bc+ca-abc>0

   =>ab+bc+ca-(abc+1)>0

   =>ab+bc+ca>abc+1

   =>2ab+2bc+2ca+a²+b²+c²>2abc+2+a²+b²+c²

   Áp dụng Hệ thức:(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

   =>(a+b+c)²>2abc+2+a²+b²+c²

   =>2²>>2abc+2+a²+b²+c²

   =>4>2abc+2+a²+b²+c²

   =>a*a+b*b+c*c+2abc<4-2

   =>a*a+b*b+c*c+2abc<2

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Theo BĐT tam giác và từ GT, ta có:

   `2=a+b+c>a+a⇒0<a<1`

   Tương tự, ta có: `0 < b, c <1`

   `⇒ (1-a)(1-b)(1-c)>0`

   `⇔ 1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc > 0\ (1)`

   Vì `a+b+c=2` nên:

   `4=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`

   `⇒ ab+bc+ca=\frac{4-(a^2+b^2+c^2)}{2}`

   Thay vào `(1)` ta có:

   `1-2+\frac{4-(a^2+b^2+c^2)}{2}-abc > 0`

   `⇔ a^2+b^2+c^2+2abc <2`

   `⇒ ĐPCM`

   Bình luận